Системы линейных однородных уравнений - имеет вид ∑a k i x i = 0. где m > n или m Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB . Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Инструкция . Выберите размерность матрицы:

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения , необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема . Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение . Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений , если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример . Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,...,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 , то есть нашли общее решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Линейная система называется однородной , если все ее свободные члены равны 0.

В матричном виде однородная система записывается:
.

Однородная система (2) всегда совместна . Очевидно, что набор чисел
,
, …,
удовлетворяет каждому уравнению системы. Решение
называетсянулевым илитривиальным решением. Таким образом, однородная система всегда имеет нулевое решение.

При каких условиях однородная система (2) будет иметь ненулевые (нетривиальные) решения?

Теорема 1.3 Однородная система (2)имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда рангr ее основной матрицыменьше числа неизвестныхn .

Система (2) – неопределенная
.

Следствие 1. Если число уравненийm однородной системы меньше числа переменных
, то система является неопределенной и имеет множество ненулевых решений.

Следствие 2. Квадратная однородная система
имеет ненулевые решения тогда и тогда, когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель
.

В противном случае, если определитель
, квадратная однородная система имеетединственное нулевое решение
.

Пусть ранг системы (2)
т. е система (2) имеет нетривиальные решения.

Пусть и- частные решения этой системы, т.е.
и
.

Свойства решений однородной системы

Действительно, .

Действительно, .

Объединяя, свойства 1) и 2), можно сказать, что если

…,
- решения однородной системы (2), то и всякая их линейная комбинация- также является ее решением. Здесь
- произвольные действительные числа.

Можно найти
линейно независимых частных решений однородной системы (2), с помощью которых можно получить любое другое частное решение данной системы, т.е. получить общее решение системы (2).

Определение 2.2 Совокупность
линейно независимых частных решений

…,
однородной системы (2) таких, что каждое решение системы (2) можно представить в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы (2).

Пусть

…,
- фундаментальная система решений, тогда общее решение однородной системы (2) можно представить в виде:

Где

.

Замечание. Чтобы получить ФСР, нужно найти частные решения

…,
, придавая поочередно какой-либо одной свободной переменной значение «1», а всем остальным свободным переменным – значения «0».

Получим ,, …,- ФСР.

Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, предварительно поставив на первое место последнее уравнение системы, и приведем ее к ступенчатому виду. Поскольку правые части уравнений в результате элементарных преобразований не меняются, оставаясь нулями, столбец

можно не выписывать.

̴
̴
̴

Ранг системы где
- число переменных. Система неопределенная, имеет множество решений.

Базисный минор при переменных
отличен от нуля:
выбираем
в качестве базисных переменных, остальные
- свободные переменные (принимают любые действительные значения).

Последней в цепочке матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

(3)

Выразим базисные переменные
через свободные переменные
(обратный ход метода Гаусса).

Из последнего уравнения выразим :
и подставим в первое уравнение. Получим. Раскроем скобки, приведем подобные и выразим:
.

Полагая
,
,
, где
, запишем

- общее решение системы.

Найдем фундаментальную систему решений

,,.

Тогда общее решение однородной системы можно записать в виде:

Замечание. ФСР можно было найти другим путем, без предварительного отыскания общего решения системы. Для этого полученную ступенчатую систему (3) нужно было решить трижды, полагая для:
; для:
; для:
.

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.

При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим

Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 - решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.

Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:

Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .

Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:

Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:

Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n - r = 5 - 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор

Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:

Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим

Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид

С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы . Действительно, пусть Y 0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY 0 = B , и Y - общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B . Вычитая одно равенство из другого, получим
A (Y-Y 0) = 0, т.е. Y - Y 0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX =0. Следовательно, Y - Y 0 = X , или Y = Y 0 + X . Что и требовалось доказать.

Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике - принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства "=", который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат."quadratus"), а куб - буквой C (лат. "cubus"). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения - самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица - это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй - столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы - в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование - очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие "система двух линейных уравнений" и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак "-", то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева - все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц - по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай - то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений , где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы , мы продолжим шлифовать техникуэлементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имееттолько тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы . И тогда неизбежно появление общего решения:

Пример 3

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований.

(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.

(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.

(4) У первой строки сменили знак.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем . Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ : общее решение:

Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне.

Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках.

На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощьюфундаментальной системы решений . Пожалуйста, временно забудьте обаналитической геометрии , поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в общем алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы . Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто.