Для описания движения в механике используются математические модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется обладающее массой тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи (размеры тела минимум в 10 раз меньше расстояния, которое проходит тело). Например, при вычислении траектории, по которой Земля движется вокруг Солнца, Землю можно рассматривать как материальную точку, так как ее радиус в 24 000 раз меньше радиуса ее орбиты. При рассмотрении движения тел по поверхности Земли она должна рассматриваться как протяженный объект.

Любое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Если деформация тела при его взаимодействии с другими телами в рассматриваемом процессе пренебрежимо мала, то можно пользоваться моделью абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянным, т.е. это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении.

Тела могут двигаться поступательно и вращательно. Рассмотрим поступательное движение.

Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела движутся одинаковым образом. Поэтому достаточно рассмотреть движение одной точки тела, например, центра тяжести, чтобы говорить о движении тела в целом.

Для определения положения тела в пространстве нужно использовать систему отсчета. Системой отсчета называется совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, по отношению к которому изучается движение.

Существует два способа описания движения тела (точки): векторный способ и координатный.

1) векторный - задается радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку;

2) координатный - задаются три координаты - x,y,z (рис. 1.1).

Если i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то радиус-вектор запишется следующим образом:

r = xi + yj + zk .

При движении материальной точки М ее координаты x, y, z и r меняются со временем. Поэтому для задания закона движения необходимо знать либо уравнения зависимости координат точки от времени:

x = x(t) y = y(t) z = z(t) либо уравнение r = r (t).

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключив из уравнения время, получим уравнение траектории.

Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве сама точка при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если все участки траектории лежат в одной плоскости, то движение называется плоским .

Длиной пути S материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

z s ∆r r 0 r y x рис. 1.2

Перемещением ∆r материальной точки называется вектор, проведенный из начального положения точки в конечное (рис.1.2):

∆r = r – r 0

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Так как перемещение – вектор, то имеет место закон независимости движений:

Если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых точкой за одно и тоже время в каждом из движений отдельно.

Полное описание движения материальной точки с помощью только вектора перемещения невозможно. Необходимо знать быстроту изменения перемещения.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время Δt:

Величину, характеризующую быстроту изменения положения точки, определяют отношением: , где – средняя скорость движения. Вектор совпадает по направлению с . Если в выражении для средней скорости перейти к пределу при ∆t → 0, то получим выражение мгновенной скорости , т.е. скорости в данный момент времени:

Это значит, что в данный момент времени равен производной и направлен по касательной к траектории в данной точке (как и ) в сторону движения точки.

Из математики известно, что модуль малого приращения равен длине ds соответствующей ему дуги траектории, т.е.

Из последнего следует понятие путевой скорости:

Для нахождения пути, пройденного телом за промежуток времени Δt, надо найти интеграл:

Поскольку мгновенная скорость – векторная величина, то ее можно разложить на три составляющие по осям координат:

v = v x i + v y j + v z k .

Используя выражение для мгновенной скорости, получим:

Отсюда проекции вектора скорости на оси координат:

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Скорость материальной точки не зависит от времени (равномерное движение). Для определения перемещения используется уравнение:

для определения пути

2. Скорость материальной точки является функцией времени (неравномерное движение).

для пути аналогично.

Скорость механического движения в большинстве случаев не остается постоянной, а меняется со временем либо по величине, либо по направлению, либо по величине и направлению одновременно.

A В	Пусть тело двигалось из точки А в точку В. Перенеся вектор в точку А находим приращение скорости : – среднее ускорение - вектор, равный производной от вектора скорости по времени и совпадающий по направлению с вектором изменения скорости ∆v за малый интервал времени ∆t.

Используя предыдущие рассуждения, получим:

– мгновенное ускорение.

Ускорение – физическая величина характеризующая быстроту изменения скорости.

Так как ускорение – это вектор, то: a = a x i + a y j + a z k

Легко показать, что:

а для модуля вектора ускорения получим:

Криволинейное движение .

В общем случае криволинейного неравномерного движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение, которым обладает движущаяся точка, определяет оба вида изменения скорости. Для рассмотрения движения удобно использовать скользящую систему координат – систему, которая изменяет свое положение в пространстве вместе с движением материальной точки. За начало отсчета принимают саму движущуюся точку. Одна ось направлена по касательной к траектории движения материальной точки в данный момент времени (тангенциальная ось τ ), другая направлена перпендикулярно (нормальная ось n ). Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории.

М τ 1 v 1

n 1 N

n 2 τ 2

v 2

Вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории. В скользящей системе координат скорость материальной точки можно представить как v = vτ

Учитывая, что, имеем

Таким образом, ускорение материальной точки представляет собой сумму двух векторов, первый их которых показывает быстроту изменения модуля скорости (тангенциальное ускорение), второй – быстроту изменения направления скорости (нормальное ускорение):

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно тангенциальной оси и направлено по нормальной оси скользящей системы координат.

Для определения физического смысла нормального ускорения рассматривают равномерное движение точки по окружности, из которого следует, что

Плис В. О динамике криволинейного движения // Квант. -·2005. - №2. - С. 30-31, 34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Из школьного курса физики известно, что равномерное движение по окружности - так называют движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью - есть движение с ускорением.

Это ускорение обусловлено равномерным изменением с течением времени направления скорости точки. В любой момент времени вектор ускорения направлен к центру окружности, а его величина постоянна и равна

где υ - линейная скорость точки, R - радиус окружности, ω - угловая скорость радиуса-вектора точки, T - период обращения. В этом случае ускорение называют центростремительным, или нормальным, или радиальным.

Очевидно, что возможно криволинейное движение не только по окружности и не обязательно равномерное. Поговорим немного о кинематике произвольного криволинейного движения. Тем более что в прошлом году в программу вступительных экзаменов по физике, например в МГУ им. М.В.Ломоносова, включили вопрос об ускорении материальной точки при произвольном движении по криволинейной траектории.

Рассмотрим сначала неравномерное движение материальной точки по окружности. При таком движении изменяется со временем не только направление вектора скорости , но и его величина. В этом случае приращение вектора скорости за малое время от t до t + Δt удобно представить в виде суммы: (рис. 1). Здесь - касательная тангенциальная составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости и обусловленная приращением величины вектора скорости на , а - нормальная составляющая, обусловленная (как и в случае равномерного движения по окружности) вращением вектора скорости. Тогда естественно и ускорение представить в виде суммы касательной (тангенциальной) и нормальной составляющих:

Для проекций вектора ускорения на касательное и нормальное направления справедливы соотношения

Отметим, что касательная составляющая a τ ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости, а нормальная составляющая а n характеризует быстроту изменения направления скорости. По теореме Пифагора,

В случае движения по произвольной криволинейной траектории все указанные соотношения также справедливы, при этом в формуле для нормального ускорения а n под величиной R надо понимать радиус такой окружности, с элементарной дужкой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности того места, где находится движущаяся материальная точка. Величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач на криволинейное движение, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах и олимпиадах по физике в ведущих вузах страны.

Задача 1 . Камень брошен со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите радиус R кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения g известно.

Для ответа на вопрос задачи воспользуемся соотношением для нормального ускорения:

В малой окрестности точки старта υ = υ 0 (рис. 2). Нормальное ускорение а n есть проекция ускорения свободного падения g на нормаль к траектории: а n = g· cos α. Это дает

Задача 2 . Определите вес P тела массой m на географической широте φ. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно g . Землю считайте однородным шаром радиусом R .

Напомним, что вес тела - это сила, обусловленная тяготением, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли. На него действуют сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила реакции опоры (рис.3). По третьему закону Ньютона, . Поэтому для определения веса тела найдем силу реакции .

В инерциальной системе отсчета, центр которой находится в центре Земли, тело равномерно движется по окружности радиусом r = R· cos φ с периодом одни сутки, т.е. T = 86400 с, и циклической частотой

7,3·10 –5 с –1 .

Ускорение тела по величине равно

а n = ω 2 ·r = ω 2 ·R· cos φ

и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции опоры тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда при 0 < φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на радиальное направление:

и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит движение:

Исключая α из двух последних соотношений, находим вес тела, покоящегося на вращающейся Земле:

Задача 3 . Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно L = 2,62·10 5 а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом T = 80 лет и достигает наибольшего значения φ = 0,85·10 –5 рад. Определите суммарную массу М звезд. Постоянная всемирного тяготения G = 6,67·10 –11 (Н·м 2 /кг 2), 1 а.е = 1,5·10 11 м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Под действием гравитационных сил

звезды движутся равномерно с периодом T по окружностям радиусов r 1 и r 2 вокруг центра масс системы со скоростями υ 1 и υ 2 соответственно (рис. 4).

По второму закону Ньютона,

Сложив эти равенства (после сокращения на m 1 и m 2 соответственно), получим

Отсюда с учетом соотношений

приходим к ответу

= 3,5 10 27 кг.

Задача 4 . На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис. 5). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ , наклоненный к горизонту под углом α. Однородный шарик радиусом R может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика ρ 0 , плотность воды ρ, ρ 0 < ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии L от этого конца. С какой по величине силой F шарик действует на стержень? Какова угловая скорость ω вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости ω min шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Обозначим объем шарика V . На шарик будут действовать три силы: сила тяжести ρ 0 ·V ·g , сила нормальной реакции N со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда F A . Найдем архимедову силу.

Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом r в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение а n = ω 2 ·r. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:

F A z = ρ·V ·g ,

а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение а n = ω 2 ·L ·cos α и по величине равна

F A n = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α.

Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом L ·cos α в горизонтальной плоскости (рис. 6).

По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим

ρ·V ·g – ρ 0 ·V ·g – N ·cos α = 0.

Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем

ρ 0 ·V ·ω 2 ·L ·cos α = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α – N ·sin α.

Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:

и угловую скорость:

Как видим, с ростом угловой скорости ω расстояние L уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, , при этом

Задача 5 . Однородную цепочку длиной L R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением a t будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки ρ. Ускорение свободного падения g .

Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной ΔL = R ·Δφ (рис. 7). Его масса равна Δm = ρ·ΔL . Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем

Перепишем полученное соотношение в виде

Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:

Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. , что ускорение a τ одинаково у всех элементарных фрагментов, , и получим

Задача 6 . Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии R /2 от оси, где R - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость υ 1 паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге μ = 0,4, радиус колеса R = 0,8 м, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .

Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис. 8). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной.

До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом r = R /2. По второму закону Ньютона,

Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен а = ω 2 ·r ,где ω - угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой β. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что F тр ≤ μ·N , получаем

Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству

Наибольшее значение выражения

где угол α таков, что и ,достигается при β = α и равно . Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству

Отсюда для искомой скорости паровоза υ 1 получаем

= 2,4 м/с.

Задача 7 . Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности BD радиусом R = 5 м (рис. 9). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью υ 0 = 10 м/с. Определите величину ускорения шайбы в точке С и угол β, который вектор ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус ОС образует с вертикалью угол α = 60°. Ускорение свободного падения g =10 м/с 2 .

Для нахождения ускорения шайбы в точке С найдем тангенциальную a τ и нормальную a n величины составляющих ускорения в этой точке.

На тело, движущееся в вертикальной плоскости по дуге BD ,в любой точке действуют силы тяжести m· g и реакции опоры N . По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление:

m· a τ = –m· g ·sin α, откуда a τ = –g ·sin α ≈ –8,7 м/с 2 .

Для определения нормальной составляющей ускорения найдем величину υскорости шайбы в точке С (поскольку ). Обратимся к энергетическим соображениям. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части желоба будем считать равной нулю. Тогда, по закону сохранения полной механической энергии,

= 10 м/с 2 .

Величину ускорения шайбы в точке С найдем по теореме Пифагора:

≈ 13,2 м/с 2 .

В точке С вектор ускорения образует с нитью угол β такой, что

≈ 0,87, откуда β ≈ 41°.

Задача 8 . По гладкой проволочной винтовой линии радиусом R с шагом h , ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой m . За какое время T бусинка опустится по вертикали на Н ? С какой по величине F силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения g .

На бусинку действуют силы тяжести и нормальной реакции , где направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка 10), а лежит в одной плоскости с векторами и .

Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим a τ = g ·sin α. Здесь α - угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что

По закону сохранения энергии,

Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем

Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью υ· sin α. В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом R со скоростью υ· cos α, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна . Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с , нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).

Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:

где .

По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой, величина (модуль) которой равна

Упражнения

1. Сферический воздушный шар радиусом R = 5 м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте H = 6 м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью υ 0 следует бросать камень и на каком расстоянии s от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания?

Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно g = 10 м/с 2 .

2. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой h = 3,610 4 км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора. Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом. Какую по величине и направлению силу тяги F должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m = 10 3 кг, Санкт-Петербург находится на широте φ = 60°, радиус Земли R = 6,4 10 3 км.

3. По гладкому столу движутся два тела с массами m 1 и m 2 ,соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной L .В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна υи перпендикулярна нити. Найдите силу T натяжения нити.

4. Однородную цепочку массой m и длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R = 4L так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину T mах силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание : для рассматриваемых в задаче углов считайте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.

5. В задаче 6 из текста статьи найдите скорость υ 2 , при которой ящик начнет подпрыгивать.

В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении

Определение

Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).

Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении

Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.

Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Вывод

Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.

Представим себе материальную точку, движущуюся по некоторой криволинейной траектории . Запишем скорость в виде

и заметим, что вектор

Это единичный вектор, касательный к траектории и совпадающий по направлению с вектором скорости. Продифференцируем вектор скорости, записанный в данном представлении, и получим

Мы представили ускорение в виде двух слагаемых. Заметим прежде всего, что слагаемые ортогональны друг другу. Действительно, поскольку вектор - единичный, то

Дифференцируя это скалярное произведение, получаем

по свойству скалярного произведения.

Таким образом, мы разложили ускорение на сумму двух взаимно ортогональных составляющих, обозначем их и :

Обсудим физический смысл каждого слагаемого. Слагаемое

Это тангенциальное ускорение , которое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Эта часть полного ускорения направлена либо по скорости, когда производная dv/dt > 0 , то есть движение ускоренное, либо в сторону противоположную скорости, когда эта производная dv/dt < 0 , то есть движение замедленное. Если движение равномерное dv/dt = 0 , то есть скорость, если и меняется, то лишь по направлению, то тангенциальная часть ускорения равна нулю:

Слагаемое

направлено по нормали к траектории - перпендикулярно касательной к траектории и называется нормальным ускорением . Если тангенциальное ускорение определяет скорость, с которой меняется модуль вектора скорости, то нормальное ускорение определяет скорость, с которой меняется направление вектора скорости.

Рис. 2.10. К определению кривизны траектории

Рассмотрим «достаточно гладкую», в остальном произвольную плоскую криволинейную траекторию. Плоскую, то есть все точки траектории лежат в некоторой плоскости, - исключительно для упрощения выкладок, получаемый в рамках этого предположения, результат годится и для любой «достаточно гладкой» пространственной кривой, чьи точки уложить в одну плоскость невозможно. Последнее обстоятельство мы здесь рассматривать не будем, оно строго доказывается методами аналитической геометрии. Слова «достаточно гладкая» означают, что кривая описывается непрерывной функцией, имеющей непрерывные первую и вторую производные. С точки зрения физических приложений, требование существования непрерывных первых двух производных фактически не является ограничением на форму траектории, так как практически всегда выполнено. Проще говоря, на траектории не должно быть "углов" типа показанного на рисунке 2.11.

Рис. 2.11.

Такую «гладкую» кривую на любом её бесконечно малом участке можно заменить (рис. 2.12) участком окружности некоторого радиуса. Радиус этой окружности, аппроксимирующей траекторию на её бесконечно малом участке в окрестности некоторой точки, принято называть радиусом кривизны траектории в этой точке. Центр этой окружности принято называть центром кривизны траектории в данной точке. Кривизной траектории называется величина C = 1/R . Подчеркнем, что радиус кривизны, как и центр кривизны траектории - её локальные характеристика: каждой точке траектории соответствует свой радиус кривизны и свой центр кривизны. Исключениями являются: 1) окружность, её радиус кривизны во всех её точках один и тот же и равен радиусу окружности, центр кривизны «один на всех» и совпадает с центром окружности, и 2) прямая, для любой точки прямой радиус кривизны бесконечен, а центр кривизны находится в бесконечно удаленной от прямой точке. Это легко понять: давайте увеличивать радиус окружности, чем больше радиус окружности, тем ближе любой её конечный участок к участку прямой. На равнине, лучше всего на пляже, с высоты человеческого роста до горизонта не более пяти километров, - в этих пределах Земля плоская.

Рис. 2.12. К определению радиуса кривизны траектории

Вычислим модуль производной , входящей в выражение для нормального ускорения. Направлен вектор по нормали к траектории к центру к центру кривизны, что поясняет рис. 2.13.

Рис. 2.13. Графическое определение радиуса кривизны траектории

Для этого прежде всего перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по «пути»: , имеем:

По определению производная кривизне кривой C , а величина ей обратная равна радиусу кривизны кривой R . Собирая всё вместе, для нормального ускорения окончательно получаем:

где нормаль перпендикулярна к касательной и всегда направлена к центру кривизны, см. рис. 11.

Приведем некоторое дополнительное пояснение к рисунку 11. Возьмем неподалеку от точки 1 точку 2 . Построим в этих точках касательные единичные векторы 1 и 2 . Перпендикуляры к этим касательным пересекутся в некоторой точке O 2 . Заметим, что для кривой, не являющейся окружностью, расстояния R 1 и R 2 будут немного отличаться друг от друга. Если теперь точку 2 приближать к точке 1 , пересечение перпендикуляров O 2 будет перемещаться вдоль прямой O 2 1 и в пределе окажется в некоторой точке O 1 . Расстояния R 1 и R 2 будут стремиться к общему пределу R , равному радиусу кривизны, а точка O 1 и будет центром кривизны для точки 1 . Действительно, окружность радиусом R с центром в 0 проходит через точку 1 и касается траектории (так как радиус ортогонален орту 1). Кроме того, по построению бесконечно близкая точка 2 также лежит на этой окружности. Таким образом, построенная окружность действительно «сливается» с траекторией в точке 1 .

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина . Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это :

Где v τ , v 0 – величины скоростей в момент времени t 0 + Δt и t 0 соответственно.

В данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

— это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.