Az alapvető integrációs képleteket a derivált képletek megfordításával kapjuk meg, ezért a vizsgált téma tanulmányozásának megkezdése előtt meg kell ismételni az 1 alapfüggvény megkülönböztetésére szolgáló képleteket (azaz emlékezzen a derivált táblázatra).

Az antiderivált fogalmának, a határozatlan integrál definíciójának megismerésekor, a differenciálás és az integráció műveleteinek összehasonlításakor figyelni kell arra, hogy az integráció működése többértékű, mert végtelen antiderivált halmazt ad a vizsgált intervallumon. Valójában azonban az egyetlen antiderivatív megtalálásának problémája megoldódik, mert egy adott függvény minden antideriváltja konstans értékkel különbözik egymástól

Ahol C– tetszőleges érték 2.

Önellenőrző kérdések.

Adja meg az antiderivatív függvény definícióját!

Mi az a határozatlan integrál?

Mi az integrand függvény?

Mi az integrand?

Adja meg az antiderivatív függvénycsalád geometriai jelentését!

6. A családban keresse meg a ponton átmenő görbét!

2. A határozatlan integrál tulajdonságai.

EGYSZERŰ INTEGRÁLOK TÁBLÁZATA

Itt a hallgatóknak meg kell tanulniuk a határozatlan integrál alábbi tulajdonságait.

Ingatlan 1. A határozatlan integrál deriváltja megegyezik a 3. függvény integrandusával (definíció szerint)

Ingatlan 2. Az integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal

azok. ha a differenciáljel az integráljel elé kerül, akkor kioltják egymást.

Ingatlan 3. Ha az integrál előjel a differenciáljel elé kerül, akkor ezek kioltják egymást, és tetszőleges konstans értéket adunk a függvényhez

Ingatlan 4. Két azonos funkciójú antiderivált különbsége állandó érték.

Ingatlan 5. Az integráljel alól kivehető a konstans tényező

Ahol A– állandó szám.

Ez a tulajdonság egyébként könnyen igazolható a (2.4) egyenlőség mindkét oldalának megkülönböztetésével a 2. tulajdonság figyelembevételével.

Ingatlan 6. Egy függvény összegének (különbségének) integrálja egyenlő ezen függvények integráljainak összegével (különbségével) (ha külön léteznek)

Ez a tulajdonság megkülönböztetéssel is könnyen igazolható.

A tulajdonság természetes általánosítása 6

. (2.6)

Ha az integrációt a differenciálás fordított műveletének tekintjük, közvetlenül a legegyszerűbb deriváltak táblázatából kaphatjuk meg a következő táblázatot a legegyszerűbb integrálokról.

A legegyszerűbb határozatlan integrálok táblázata

1. , ahol, (2.7)

2. , ahol, (2.8)

4. , ahol,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

A legegyszerűbb határozatlan integrálok (2.7) – (2.16) képleteit fejből kell megtanulni. Ezek ismerete szükséges, de távolról sem elegendő a beilleszkedés megtanulásához. Tartós integrációs készségek csak kellően sok probléma (általában körülbelül 150-200 különböző típusú) megoldásával érhetők el.

Az alábbiakban példákat mutatunk be az integrálok egyszerűsítésére a fenti táblázatból ismert integrálok (2.7) – (2.16) összegére való konvertálásával.

Példa 1.

.

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antiderivált halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a gyakori függvényeket, feltüntetve azokat az antiderivatíveket, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antideriváltakról különféle állandókkal 1-től végtelenig, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, a 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát fogjuk kicsit tovább tanulmányozni.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva. f, és szorzata a differenciálművel dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változó alapján keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő dőlésszögének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén párhuzamos transzlációval előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), majd a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciále pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Legyen a függvény y = f(x) a [ a, b ], a < b. Végezzük el a következő műveleteket:

1) osszuk el [ a, b] pontok a = x 0 < x 1 < ... < x én- 1 < x én < ... < x n = b tovább n részleges szegmensek [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x én- 1 , x én ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) minden részszakaszban [ x én- 1 , x én ], én = 1, 2, ... n, válasszon egy tetszőleges pontot, és számítsa ki a függvény értékét ezen a ponton: f(z i ) ;

3) keresse meg a műveket f(z i ) · Δ x én , ahol a részszakasz hossza [ x én- 1 , x én ], én = 1, 2, ... n;

4) pótoljuk integrál összeg funkciókat y = f(x) a szegmensen [ a, b ]:

Geometriai szempontból ez a σ összeg azon téglalapok területének összege, amelyek alapjai részszegmensek [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x én- 1 , x én ], ..., [x n- 1 , x n ], és a magasságok egyenlők f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) ennek megfelelően (1. ábra). Jelöljük azzal λ a leghosszabb részszakasz hossza:

5) keresse meg az integrál összeg határát, amikor λ → 0.

Meghatározás. Ha van véges korlátja az (1) integrálösszegnek, és ez nem függ a szegmens particionálásának módjától [ a, b] részszakaszokra, sem a pontok kijelöléséből z i bennük, akkor ezt a határt hívják határozott integrál funkcióból y = f(x) a szegmensen [ a, b] és jelölése

És így,

Ebben az esetben a függvény f(x) nak, nek hívják integrálható tovább [ a, b]. Számok aÉs b az integráció alsó és felső határának nevezzük, f(x) – integráns függvény, f(x ) dx– integráns kifejezés, x– integrációs változó; vonalszakasz [ a, b] integrációs intervallumnak nevezzük.

1. tétel. Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ a, b], akkor ezen az intervallumon integrálható.

Az azonos integrálási határokkal rendelkező határozott integrál egyenlő nullával:

Ha a > b, akkor definíció szerint feltételezzük

2. A határozott integrál geometriai jelentése

Legyen a szegmens [ a, b] folyamatos, nem negatív függvényt adunk meg y = f(x ) . Görbe vonalú trapéz egy függvény grafikonjával határolt ábra y = f(x), alulról - az Ox tengely mentén, balra és jobbra - egyenes vonalak x = aÉs x = b(2. ábra).

Nem negatív függvény határozott integrálja y = f(x) geometriai szempontból egyenlő egy görbe vonalú trapéz területével, amelyet fent a függvény grafikonja határol. y = f(x), bal és jobb – vonalszakaszok x = aÉs x = b, alulról - az Ox tengely egy szegmense.

3. A határozott integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozott integrál értéke nem függ az integrációs változó megnevezésétől:

2. A konstans tényező kivehető a határozott integrál előjeléből:

3. Két függvény algebrai összegének határozott integrálja egyenlő ezen függvények határozott integráljainak algebrai összegével:

4.Ha funkció y = f(x) integrálható a [ a, b] És a < b < c, Azt

5. (középérték tétel). Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ a, b], akkor ezen a szegmensen van egy olyan pont, hogy

4. Newton–Leibniz képlet

2. tétel. Ha a funkció y = f(x) folyamatos a [ a, b] És F(x) ezen a szegmensen található bármely antiderivatíve, akkor a következő képlet érvényes:

amelyet úgy hívnak Newton–Leibniz képlet. Különbség F(b) - F(a) általában a következőképpen írják:

ahol a szimbólumot dupla helyettesítő karakternek nevezik.

Így a (2) képlet a következőképpen írható fel:

1. példa Integrál kiszámítása

Megoldás. Az integrand számára f(x ) = x 2 egy tetszőleges antiderivált alakja van

Mivel a Newton-Leibniz képletben bármilyen antiderivált használható, az integrál kiszámításához a legegyszerűbb formájú antideriváltat vesszük:

5. Változó változása határozott integrálban

3. tétel. Legyen a függvény y = f(x) folyamatos a [ a, b]. Ha:

1) funkció x = φ ( t) és származéka φ "( t) folyamatosak a ;

2) függvényértékek halmaza x = φ ( t) mert a szegmens [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, akkor a képlet érvényes

amelyet úgy hívnak formula változó megváltoztatására egy meghatározott integrálban .

Ellentétben a határozatlan integrállal, ebben az esetben nem szükséges visszatérni az eredeti integrációs változóhoz - elég csak új α és β integrációs korlátokat találni (ehhez meg kell oldani a változót t egyenletek φ ( t) = aés φ ( t) = b).

Csere helyett x = φ ( t) használhatja a helyettesítést t = g(x) . Ebben az esetben új korlátok keresése az integrációban egy változó felett t leegyszerűsíti: α = g(a) , β = g(b) .

2. példa. Integrál kiszámítása

Megoldás. Vezessünk be egy új változót a képlet segítségével. Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve 1 +-ot kapunk x = t 2 , ahol x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Új korlátokat találunk az integrációnak. Ehhez cseréljük be a régi határértékeket a képletbe x = 3 és x = 8. Kapjuk: , honnan t= 2 és α = 2; , ahol t= 3 és β = 3. Tehát

3. példa Kiszámítja

Megoldás. Hadd u= log x, Akkor , v = x. A (4) képlet szerint

Ez a cikk részletesen szól a határozott integrál főbb tulajdonságairól. Ezek bizonyítása a Riemann és Darboux integrál fogalmával történik. A határozott integrál számítása 5 tulajdonságnak köszönhetően történik. A többiek különféle kifejezések kiértékelésére szolgálnak.

Mielőtt rátérnénk a határozott integrál főbb tulajdonságaira, meg kell győződni arról, hogy a nem haladja meg a b-t.

A határozott integrál alapvető tulajdonságai

Az x = a helyen definiált y = f (x) függvény hasonló a ∫ a a a f (x) d x = 0 igazságos egyenlőséghez.

Bizonyíték 1

Ebből azt látjuk, hogy az egybeeső határértékekkel rendelkező integrál értéke nulla. Ez a Riemann-integrál következménye, mert minden σ integrálösszeg bármely partícióra az [ a ; a ] és a ζ i pontok bármely választása nullával egyenlő, mert x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ami azt jelenti, hogy az integrálfüggvények határértéke nulla.

2. definíció

Olyan függvényre, amely integrálható az [a; b ] , a ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x feltétel teljesül.

Bizonyíték 2

Más szóval, ha felcseréljük az integráció felső és alsó határát, akkor az integrál értéke az ellenkező értékre változik. Ez a tulajdonság a Riemann integrálból származik. A szakasz partíciójának számozása azonban az x = b pontból indul.

3. definíció

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x az y = f (x) és y = g (x) típusú integrálható függvényekre vonatkozik, amelyek az [ a ] ​​intervallumon definiáltak; b ] .

Bizonyíték 3

Írja fel az y = f (x) ± g (x) függvény integrálösszegét a szegmensekre való felosztáshoz adott ζ i pontválasztással: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

ahol σ f és σ g az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálösszegei a szakasz particionálásához. A határértékre való átlépés után λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 azt kapjuk, hogy lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemann definíciójából ez a kifejezés egyenértékű.

4. definíció

Az állandó tényező kiterjesztése a határozott integrál előjelén túlra. Integrált függvény az [a; b ] tetszőleges k értékkel rendelkezik ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x alakú igazságos egyenlőtlenséggel.

4. bizonyítás

A határozott integrál tulajdonság bizonyítása hasonló az előzőhöz:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

5. definíció

Ha egy y = f (x) alakú függvény integrálható egy x intervallumra, ahol a ∈ x, b ∈ x, akkor azt kapjuk, hogy ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Bizonyíték 5

A tulajdonság érvényesnek tekinthető c ∈ a esetén; b, ha c ≤ a és c ≥ b. A bizonyítás hasonló az előző tulajdonságokhoz.

6. definíció

Amikor egy függvény integrálható az [a; b ], akkor ez bármely c belső szegmensre megvalósítható; d ∈ a; b.

6. bizonyítás

A bizonyítás a Darboux tulajdonságon alapul: ha egy szegmens meglévő partíciójához pontokat adunk, akkor az alsó Darboux összeg nem csökken, a felső pedig nem növekszik.

7. definíció

Ha egy függvény integrálható [a; b ] -ból f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 bármely x ∈ a értékre; b , akkor azt kapjuk, hogy ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

A tulajdonság a Riemann-integrál definíciójával igazolható: tetszőleges integrálösszeg a szakasz felosztási pontjainak és ζ i pontjainak tetszőleges megválasztásához azzal a feltétellel, hogy f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 nem negatív. .

Bizonyíték 7

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ], akkor a következő egyenlőtlenségeket tekintjük érvényesnek:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

A nyilatkozatnak köszönhetően tudjuk, hogy az integráció megengedett. Ezt a következményt más tulajdonságok bizonyításánál is felhasználjuk.

8. definíció

Egy y = f (x) integrálható függvényre az [ a ; b ] van egy ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenségünk.

8. bizonyítás

Azt kaptuk, hogy - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Az előző tulajdonságból azt találtuk, hogy az egyenlőtlenség tagonként integrálható, és egy - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenségnek felel meg. Ez a kettős egyenlőtlenség más formában is felírható: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

9. definíció

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvényeket integráljuk az [ a ; b ] ha g (x) ≥ 0 bármely x ∈ a esetén; b , egy m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x alakú egyenlőtlenséget kapunk, ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Bizonyíték 9

A bizonyítás is hasonló módon történik. M és m az y = f (x) függvény legnagyobb és legkisebb értékének tekinthető, amelyet az [a; b ] , akkor m ≤ f (x) ≤ M . A kettős egyenlőtlenséget meg kell szorozni az y = g (x) függvénnyel, ami az m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) alakú kettős egyenlőtlenség értékét adja. Integrálni kell az [a; b ] , akkor megkapjuk a bizonyítandó állítást.

Következmény: Ha g (x) = 1, az egyenlőtlenség m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) alakot ölt.

Első átlagképlet

Ha y = f (x) integrálható az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) van egy μ ∈ m szám; M , amely illeszkedik ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Következmény: Amikor az y = f (x) függvény folytonos az [ a ; b ], akkor van c ∈ a szám; b, amely kielégíti a ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a egyenlőséget.

Az első átlagképlet általánosított formában

Amikor az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) és g (x) > 0 bármely x ∈ a értékre; b. Innen azt kapjuk, hogy van egy μ ∈ m szám; M , amely kielégíti a ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x egyenlőséget.

Második átlagképlet

Amikor az y = f (x) függvény integrálható az [ a ; b ], és y = g (x) monoton, akkor van egy szám, amely c ∈ a; b , ahol a ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x formájú igazságos egyenlőséget kapjuk

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Angol: A Wikipédia biztonságosabbá teszi az oldalt. Régi webböngészőt használ, amely a jövőben nem tud csatlakozni a Wikipédiához. Kérjük, frissítse eszközét, vagy forduljon a rendszergazdához.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）.

Spanyol: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Használta a webes navigációt, hogy a Wikipédiában és a jövőképben nincs sera capaz de conectarse. Aktuális eszköz vagy kapcsolatfelvétel az adminisztrátorral. Más abajo hay una aktualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniks et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ??? IT情報は以下に英語で提供しています。

Német: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

olasz: A Wikipédia biztonságosabb. Maradjon használatban a webböngészőben che non sarà a Wikipédia jövőbeli kapcsolataiban. Per favore, aggiorna il your dispositivo or contatta il your administratore informatic. Più in basso elérhető egy legrészletesebb és legfejlettebb technológia angol nyelven.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipédia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Frissítse az IT-adminisztrátort. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Eltávolítjuk a nem biztonságos TLS-protokoll-verziók támogatását, különösen a TLSv1.0-t és a TLSv1.1-et, amelyekre böngészőszoftvere támaszkodik a webhelyeinkhez való csatlakozáskor. Ezt általában elavult böngészők vagy régebbi Android okostelefonok okozzák. Vagy lehet a vállalati vagy személyes "Web Security" szoftver által okozott interferencia, amely valójában rontja a kapcsolat biztonságát.

Webhelyeink eléréséhez frissítenie kell webböngészőjét, vagy más módon meg kell oldania a problémát. Ez az üzenet 2020. január 1-ig megmarad. Ezt követően a böngészője nem tud kapcsolatot létesíteni a szervereinkkel.