Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол.

Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис. 2).

Рис. 2.

Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей, а также центробежный момент инерции.Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и.

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или момент инерция плоский ось

Аналогично:

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и, а последний -- центробежный момент инерции площади относительно этих осей. Тогда:

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси, надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол, независимо от того, центральные это оси или нет.

Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где -- расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить.

Положим, что для произвольного сечения (рис. 1.13) моменты инерции относительно координатных осей z и y известны, а также известен центробежный момент инерции Izy. Требуется установить зависимости для моментов инерции относительно осей 11 zy, повернутых на угол по отношению к исходным осям z и y (рис. 1.13). Будем считать угол положительным, если поворот координатной системы происходит против хода часовой стрелки. Пусть для данного сечения IzI. yДля решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами площадки dA в исходных и повернутых осях. Из рис.1.13 следует: Из треугольника из треугольника С учетом этого получаем Аналогично для координаты y1 получаем Учитывая, что окончательно имеем 1Воспользовавшись полученными зависимостями (1.23), (1.24) и выражениями для моментов инерции сечения (1.8), (1.9) и (1.11), определяем момент инерции относительно новых (повернутых) осей z1 и y1: Аналогично Центробежный момент инерции I относительно повернутых осей определится зависимостью После раскрытия скобок получим Складывая, получаем Сумма моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте и равна полярному моменту инерции сечения. Вычитая (1.27) из (1.26) получаем Формула (1.30) может служить для вычисления центробежного момента инерции относительно осей z и y , по известным моментам инерции относительно осей z , y и z1, y1, а формула (1.29) – для проверки вычислений моментов инерции сложных сечений. 1.8. Главные оси и главные моменты инерции сечения С изменением угла (см. рис. 1.13) меняются и моменты инерции. При некоторых значениях угла 0 моменты инерции имеют экстремальные значения. Осевые моменты инерции, имеющие максимальные и минимальные значения называются главными осевыми моментами инерции сечения. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют максимальные и минимальные значения, являются главными осями инерции. С другой стороны, как уже отмечалось выше, главные оси, это оси относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Для определения положения главных осей для сечений произвольной формы возьмём первую производную по от I и приравняем ее нулю: Откуда Эта формула определяет положения двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой – минимален. Необходимо заметить, что формула (1.31) может быть получена из (1.28), приравняв ее нулю. Если подставить значения угла, определяемого из выражения (1.31), в (1.26) и (1.27), то после преобразования получим формулы, определяющие главные осевые моменты инерции сечения По своей структуре эта формула аналогична формуле (4.12), определяющей главные напряжения (см. разд. 4.3). Если IzI, yто, исходя из исследований второй производной, вытекает, что максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси z, а минимальный момент инерции – относительно другой главной оси, расположенной под углом 0 Если II, yто все меняется наоборот. Значения главных моментов инерции Imax и I могут быть вычислены и по зависимостям (1.26) и (1.27), если подставить в них вместо значения. При этом сам собой решается вопрос: относительно какой главной оси получается максимальный момент инерции и относительно какой оси – минимальный? Необходимо обратить внимание, что если для сечения главные центральные моменты инерции относительно осей z и y равны, то у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний треугольник и др.). Это легко устанавливается из зависимостей (1.26), (1.27) и (1.28). Действительно, предположим, что для какого-то сечения оси z и y ─ главные центральные оси и кроме того I. yТогда из формул (1.26) и (1.27) получим, что Izy , 1а из формулы (1.28) убедимся, что 11 е. любые оси являются главными центральными осями инерции такой фигуры. 1.9. Понятие о радиусе инерции Момент инерции сечения относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади сечения на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции площади сечения где iz ─ радиус инерции относительно оси z . Тогда из (1.33) следует: Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции: 1.10. Моменты сопротивления Различают осевые и полярные моменты сопротивления. 1. Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения от этой оси. Осевой момент сопротивления относительно оси z: а относительно оси y: max где ymax и zmax─ соответственно расстояния от главных центральных осей z и y до точек наиболее удаленных от них. При расчетах используются главные центральные оси инерции и главные центральные моменты, поэтому под Iz и Iy в формулах (1.36) и (1.37) будем понимать главные центральные моменты инерции сечения. Рассмотрим вычисление моментов сопротивления некоторых простых сечений. 1. Прямоугольник (см. рис. 1.2): 2. Круг (см. рис. 1.8): 3. Трубчатое сечение кольцевое (рис. 1.14): . Для прокатных профилей моменты сопротивления приводятся в таблицах сортамента и в их определении нет необходимости (см. прил. 24 – 27). 2. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения max 30 В качестве полюса обычно принимается центр тяжести сечения. Например, для круглого сплошного сечения (рис. 1.14): Для трубчатого круглого сечения. Осевые моменты сопротивления Wz и Wy характеризуют чисто с геометрической стороны сопротивляемость стержня (балки) деформации изгиба, а полярный момент сопротивления W сопротивляемость кручению.

Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

Если поперечное сечение образовано совокупностью простейших, то в соответствии со свойствами определенных интегралов геометрическая характеристика такого сечения равна сумме соответствующих характеристик отдельных составных сечений (рис. 3.10).

Рис. 10.

Таким образом, для вычисления моментов инерции сложной фигуры необходимо разбить её на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции

Изменение моментов инерции при повороте осей

Найдем зависимость межу моментами инерции относительно осей и моментами инерции относительно осей, повернутых на угол (рис. 3.11). Пусть и положительный угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Рис. 11. Поворот осей координат

Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами бесконечно малой площадки в исходных и повернутых осях

Теперь определим моменты инерции относительно осей

Аналогично

Для центробежного момента

Складывая (3.28) и (3.29), получаем

Вычитая (3.28) из (3.29), получаем

Формула (3.31) показывает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (3.32) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей по известным осевым моментам инерции относительно осей и.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

При изменении угла (рис. 3.10) моменты инерции (3.280 - (3.31) изменяются. Найдем значение угла, при котором и имеют экстремальное значение. Для этого возьмем от и первую производную по и приравниваем ее нулю:

Эта формула определяет положение двух осей, относительно которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (3.28) и (3.29, подставив в них из формулы (3.33), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразования получим формулу для определения главных моментов инерции:

Покажем теперь, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, приравнивая по формуле (3.30) нулю, получаем

откуда для вновь получается формула (3.33)

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения (относительно одной - максимум, относительно другой - минимум).

Главные оси, приходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Это следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

Вычислим моменты инерции J u , J v и J uv :

Сложив первые две формулы (3.14), получим J u + J v = J z + J y , т.е. при любом повороте взаимно перпендикулярных осей сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной (инвариантом).

Главные оси и главные моменты инерции

Исследуем функцию J u (a) на экстремум. Для этого приравняем нулю производную J u (a) по a.

Ту же самую формулу получим, приравнивая нулю центробежный момент инерции

.

Главными осями называют оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю.

Главных осей инерции можно провести бесчисленное множество, взяв в качестве начала координат любую точку на плоскости. Для решения задач сопротивления материалов нас интересуют только главные центральные оси инерции. Главные центральные оси инерции проходят через центр тяжести сечения.

Формула (3.17) дает два решения, отличающихся на 90°, т.е. позволяет определить два значения угла наклона главных осей инерции относительно первоначальных осей. Относительно какой из осей получается максимальный осевой момент инерции J 1 = J max , а относительно какой – минимальный J 2 = J min , придется решать по смыслу задачи.

Более удобными оказываются другие формулы, которые однозначно определяют положение главных осей 1 и 2 (даются без вывода). При этом положительный угол отсчитывается от оси Оz против часовой стрелки.

В формуле (3.19) знак «+» соответствует максимальному моменту инерции, а знак «–» минимальному.

Замечание. Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то относительно этой оси и любой другой, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю. В соответствии с определением главных осей инерции можно заключить, что эти оси являются главными осями инерции, т.е. ось симметрии – всегда главная центральная ось.

Для симметричных профилей, представленных в сортаменте, швеллера или двутавра, главными центральными осями инерции будут вертикальная и горизонтальная оси, пересекающиеся на половине высоты профиля.