Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.
2. Ввести понятие тождественного преобразования выражений.
3. Развивать у учащихся навыки доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений.
4. Воспитывать коммуникативную культуру учащихся.

Ход урока

Перед началом урока учащиеся класса разбиваются на шесть учебных групп смешанного состава.

I

Учитель : Здравствуйте, ребята, я предлагаю учебный кабинет превратить на время в научно-исследовательскую лабораторию , а нам с вами в ученых-магистров математических наук .

Но каждый, уважающий себя ученый, постоянно решает какую-нибудь очень важную проблему, вот и нам, прежде всего, предстоит узнать: над какой проблемой мы будем сегодня работать?

Для этого нам нужно решить две задачи: (Слайд 1)

1. Разложите на множители выражение 4х – 8ху. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Доказательство»)
2. Представьте выражение -5у(у – 2) в виде многочлена. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Тождеств»)

Учитель : Работать сегодня мы будем над «Доказательством тождеств», а девизом нашей работы я предлагаю взять вот эти замечательные слова: (Слайд 2)

Пусть каждый день и каждый час
Нам новое добудет,
Пусть добрым будет ум у нас,
А сердце умным будет!

II

Учитель : Господа ученые, прежде чем решать поставленную задачу, нам необходимо укрепить свою теоретическую базу, ведь понятие тождества вам уже знакомо. И поэтому в рубрике (Слайд 3) «Повторение – мать учения» я предлагаю вам провести следующую работу:

В каждой научной группе находятся формулировки трех понятий на карточке 1, вы должны среди них найти два определения: 1) Определение тождества, 2) Определение тождественно равных выражений.

(Учащиеся в течение 2-3 минут изучают эти определения, спрашиваются представители тех групп, которые быстрее всех справились с заданием, остальные участники других групп показывают согласие или несогласие с помощью сигнальных карточек зеленого и красного цветов)

Карточка 1

После того как учащиеся дают верное определение, оно высвечивается на экране.

Учитель : Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране будут появляться равенства, если это равенство будет являться тождеством, то я предлагаю вам встать, если же – нет, то вы продолжаете сидеть: (Слайд 4)

• - (а – в) = - а + в
• а (в + с) = ав - ас
• а – (в + с) = а – в + с
• (а + в) – с = а – с + в
• - (а + в) = - в - а

III

Учитель : Хорошо, а сейчас пришла пора из теоретиков нам превращаться в ученых- практиков, но для этого нам нужно узнать, что нужно использовать, чтобы доказать тождество , и здесь нам не обойтись без научной литературы, ответ на этот вопрос мы найдем на странице … вашего учебника. Учащиеся находят в учебнике ответ: «Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений» . Согласие или несогласие участники остальных групп показывают специальными сигналами, о которых говорилось выше. (Слайд 5)

Учитель : Молодцы, но теперь возникает следующий вопрос, а что такое тождественное преобразование выражений ? Ответ можно найти на карточке 1 , это оставшееся третье определение.

«Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения» (учитель предлагает ответить на этот вопрос одного из участников любой группы) (Слайд 6)

Вот сейчас мы уже «созрели» для практической работы, и я попрошу вас обратить свое внимание на карточку 2 . Задание: «Докажите тождество», каждая группа ученых получила пример, который она должна решить самостоятельно, если будут возникать затруднения на помощь придут карточки- консультанты.

Карточка 2

Карточка 2

Карточка 2

Карточка 2

Карточка 2

Карточка 2

Теперь нам необходимо защитить свои работы. (Презентация выполненных работ у доски, выступают желающие участники групп)

Учитель : Замечательно, а теперь уважаемые коллеги пора подводить итоги, что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся: (Слайд 7)

1. Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
   или
2. Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
   или
3. Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.

Учитель : Какой вывод можно сделать в том случае, когда все то, о чем мы только что сказали, не будет выполняться? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.

IV

Учитель : Чтобы полученные знания были прочными, эту работу мы продолжим дома:

Домашнее задание: п. 30, 773, * Составить равенство, которое будет являться тождеством.

V

Учитель : А сейчас настал час для творчества: В стихотворении, которое вы видите, вставьте пропущенные слова: (Слайды 8-9)

Равенства всякие, братцы, бывают,
И каждый об этом, конечно же, знает.
Есть – с переменными, есть – (числовые),
Сложные очень и очень (простые),
Но есть среди равенств особенный класс,
О нем поведем свой рассказ мы сейчас.
(Тождеством) равенство это зовется.
Но это еще доказать нам придется.
Для этого нужно нам только лишь взять
И равенство это (преобразовать)
Несложно, конечно, нам будет узнать
Какую придется нам часть изменять,
А, может, придется нам обе менять,
По равенства виду нетрудно (понять)
Ура! Удалось применить наши знания,
Окончено равенства преобразование.
И смело уже говорим мы ответ:
Так (тождество) это, или все-таки нет!

Пример 2. Доказать тождество

Это тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.

Способ 1.

Поэтому

Способ 2.

Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α . Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α , не изменяя значения дроби. Следовательно,

Используя тождества tg α ctg α = 1 и 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , получаем

Поэтому что и требовалось доказать.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α ) определена при всех значениях α , а правая - лишь при α =/= π / 2 n.

Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.

Пример 3. Доказать тождество

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:

sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;

cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.

Пример 4. Доказать тождество

sin 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю.

(sin 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Тем самым тождество доказано.

Пример 5. Доказать тождество

Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a / b = c / d , достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc . Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Действительно, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .

В процессе обучения у учащихся должны быть сформированы навыки до­казательства тождеств следующими способами.

Если надо доказать, что А=В, то можно

1. доказать, что А - В = О,

2.доказать, что А/В = 1,

3. преобразовать А к виду В,

4. преобразовать В к виду А,

5. преобразовать А и В к одному виду С.

В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств, исполь­зуются свойства арифметических операций. Иногда в доказательстве привлека­ются геометрические понятия и методы. Геометрические доказательства не только поучительны и наглядны, но и способствуют усилению межпредметных связей.

Доказательства тождеств можно разделить на три типа в зависимости от того, насколько они удовлетворяют требованиям строгости:

а) Не полностью строгие рассуждения, требующие использования метода математической индукции для придания им полной строгости. Эти доказательства применяются для вывода правила действий с многочленами, свойств степе­ней с натуральными показателями. Например,

а к а р = (а ·а·······а) (а ·а········а) = а ·а········а = а к+р

к раз р раз к+р раз

б) Полностью строгие рассуждения, опирающиеся на основные свойства арифметических действий и не использующие других свойств числовой системы. Основная область применения таких доказательств - тождества сокращенного ум­ножения. Многие из утверждений, выражаемых формулами сокращенного умно­жжения, допускают наглядно-геометрическую иллюстрацию.

Пример Для тождества учитель может предложить следующую иллюстрацию:

в) Полностью строгие рассуждения, использующие условия разрешимости уравнений вида Ψ(х) = а, где Ψ - изучаемая элементарная функция. Такие доказа­тельства характерны для вывода свойств степени с рациональным показателем и логарифмической функции. Например, при доказательстве свойства арифметиче­ского корня

(1)

будем опираться на переформулировку определения арифметического квадратного корня: для неотрицательных чисел х и у равенства у =
и

у 2 = х равносильны, поэтому (1) равносильно (
) 2 = (
) 2 (2). Откуда следует, а в = (
) 2 (
) 2 = а в.

Прием доказательства, который здесь использовался, применяется довольно редко, тем не менее, необходимо подчеркнуть, что основная идея доказательства состоит в сопоставлении двух операций (или функций) - прямой и обратной к ней, что найдет применение уже в старшей школе.

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов

тождественных преобразований выражений в основной школе

Задание к лекции

Проанализировав школьные учебники составить таблицу тождественных равенств с указанием множества, на котором оно выполняется.

Пример
, М 1 – те х, для которых имеет смыслf(x).

Что такое тождество?и как его доказать? и получил лучший ответ

Ответ от Ёветлана Безруких[активный]

Способы докозания тождества:





Итак, преобразовываем:




-36=-36.
Тождество доказано!

Ответ от Џна Кичак [активный]
Ты умница! Не знаешь что такое тождество? Тебе на алгебру в 7 класс. Тождество-утверждение требующее доказательство. А доказать легко-упростить.

Ответ от Ўлия Фролова [гуру]
Тождество - равенство, которое выполняется при любых значениях переменной.
х в квадрате +8х-5х-40-х в квадрате +х - 4х + 4= - 36
-36=-36

Ответ от Андрей Шадров [новичек]
Тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество - значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая часть равны.
Способы докозания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и тоже выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в рзультате её преобразований получают нуль.
Т. к. мы не можем преобразовать правую часть, следовательно, мы будем преобразовывать левую. (Т. к. я не могу написать число, возведённое во вторую степень, например число- x в квадрате, я буду писать так: x умноженное на х, сокращённо х умн. на х)
Итак, преобразовываем:
х умн. на х + 8х - 5х - 40 - х умн. на х + х - 4х + 4=-36,
(Мы многие числа можем взаимно уничтожить! Это иксы в квадратных степенях, потому что один из них положительный, другой отрицательный, и подобные числа - 8х; -5х; х; -4х. Потому что 8х - 5х + х - 4х= 0).
В итоге, у нас получилось -40 + 4= -36.
Выполнив несложную математическую операцию 4-40, мы получим -36.
-36=-36.
Тождество доказано!

Ответ от Александр Чернышов [новичек]
ааааа