Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1) .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x , которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :



.
Теперь находим производную:


.

Итак,
.
Правило доказано.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x . Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1) .

Следствие

Пусть являются функциями от независимой переменной x . Тогда
;
;
и т. д. ...

Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций и , а затем - для функций и :

.

Аналогично доказываются другие подобные формулы.

Примеры

Пример 1

Найдите производную
.

Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1) .
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
.

Окончательно имеем:
.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1) .
.

Применяем формулу производной суммы и разности функций :
.
.

Применяем правила дифференцирования постоянных :
;
.
;
.

В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.

Производные тригонометрических функций

Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=\sin x$, а также $y=\cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.

Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $\left({{x}^{n}} \right)=n\cdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{\left(\sinx \right)}^{\prime }}=\cosx \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& {{\left(tgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.

Что такое производная произведения?

Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $f\cdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:

Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"$.

Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:

Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $\left(x-5 \right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}\cdot \left(x-5 \right) \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot {{\left(x-5 \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{2}}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1 \\\end{align}\].

Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}\cdot \left(x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1={{x}^{2}}\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& ={{x}^{2}}\left(3x-15+x \right)={{x}^{2}}(4x-15) \\\end{align}\]

Все, мы нашли ответ.

Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:

Итак, переписываем:

Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $\left(\sqrt{x}-1 \right)$, которую можно обозначить за $g$.

Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $f\left(x \right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:

\[\begin{align}& {f}"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\cdot {{\left(\sqrt{x}-1 \right)}^{\prime }}=1\cdot \left(\sqrt{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt{x}}= \\& =\sqrt{x}-1+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{x}-1 \\\end{align}\]

Ответ найден.

Зачем раскладывать производные на множители?

Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.

Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.

Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.

По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n -ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n ― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.

Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k ), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.

А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.

Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:

\[\begin{align}& {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}=\cos x \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Считаем первый пример:

У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:

\[{{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}"\cdot g+f\cdot {g}"\]

Давайте решим:

\[\begin{align}& {y}"={{\left({{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{3}}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot \cos x={{x}^{3}}\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end{align}\]

Переходим ко второй функции:

Опять же, $\left(3x-2 \right)$ ― это функция $f$, $\cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:

\[\begin{align}& {y}"={{\left(3x-2 \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end{align}\]

\[{y}"={{\left({{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left(4x\sin x \right)}^{\prime }}\]

Выпишем по отдельности:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}=\left({{x}^{2}} \right)"\cos x+{{x}^{2}}\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot \cos x+{{x}^{2}}\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x \\\end{align}\]

На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:

\[\begin{align}& {{\left(4x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={{\left(4x \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+4x\cdot {{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end{align}\]

А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:

\[\begin{align}& {y}"=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x \\\end{align}\]

Все, это окончательный ответ.

Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:

\[{y}"={{\left({{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}-{{\left(2xctgx \right)}^{\prime }}\]

Считаем каждую часть отдельно:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot {{\left(tgx \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left(2x\cdot ctgx \right)}^{\prime }}={{\left(2x \right)}^{\prime }}\cdot ctgx+2x\cdot {{\left(ctgx \right)}^{\prime }}= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=2\cdot ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:

\[\begin{align}& {y}"=2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-\left(2ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-2ctgx+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.

Что представляет собой производная частного?

Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $\frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:

Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:

Попытаемся решить:

\[{f}"={{\left(\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left({{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}\cdot \left(x+2 \right)-\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot {{\left(x+2 \right)}^{\prime }}}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}\]

Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:

\[\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{1}"=2x \\& {{\left(x+2 \right)}^{\prime }}={x}"+{2}"=1 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& {f}"=\frac{2x\cdot \left(x+2 \right)-\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}= \\& =\frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left(x+2 \right)}^{2}}} \\\end{align}\]

Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:

Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:

\[{y}"={{\left(\frac{1}{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=\frac{{1}"\cdot \left({{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot {{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Посчитаем каждую часть примера отдельно:

\[\begin{align}& {1}"=0 \\& {{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{4}"=2x \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[{y}"=\frac{0\cdot \left({{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot 2x}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=-\frac{2x}{{{\left({{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]

Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.

В чем разница между обозначениями?

У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left(x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left(x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\, мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left(x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.

С другой стороны, используя обозначения вида\, т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\, читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.

Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.

Несколько интересных задач

На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:

\[\begin{align}& (sinx{)}"=\cos x \\& {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\\end{align}\]

Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot g-f\cdot {g}"}{{{g}^{2}}}\]

Считаем первую функцию:

\[\begin{align}& {f}"={{\left(\frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left(\sin x \right)}^{\prime }}\cdot x-\sin x\cdot \left({{x}"} \right)}{{{x}^{2}}}= \\& =\frac{x\cdot \cos x-1\cdot \sin x}{{{x}^{2}}}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Вот мы и нашли решение этого выражения.

Переходим ко второму примеру:

Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:

\[{y}"={{\left(\frac{x\sin x}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left(x\sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x-x\sin x\cdot {{\left(\cos x \right)}^{\prime }}}{{{\left(\cos x \right)}^{2}}}\]

Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:

\[\begin{align}& {{\left(x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={x}"\cdot \sin x+x{{\left(\sin x \right)}^{\prime }}= \\& =\sin x+x\cos x \\\end{align}\]

Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:

\[\begin{align}& {y}"=\frac{\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right)}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x{{\cos }^{2}}x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Вот и все! Мы посчитали.

Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?

И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $\frac{\sin x}{\cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.

Итак, теперь нам нужно учесть следующее:

\[\frac{\sin x}{\cos x}=tgx\]

Перепишем нашу исходную функцию $y=\frac{x\sin x}{\cos x}$ с учетом этого факта. Получим:

Давайте посчитаем:

\[\begin{align}& {y}"={{\left(x\cdot tgx \right)}^{\prime }}{x}"\cdot tgx+x{{\left(tgx \right)}^{\prime }}=tgx+x\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]

Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.

Важные нюансы при решении задач

В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:

В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.

Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Кроме того, у нас присутствует слагаемое $\frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot g-f\cdot {g}"}{{{g}^{2}}}\]

Итак, решаем:

\[{y}"={{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+10{0}"\]

С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:

\[{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot {{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3k.2x=6x\]

А вот с первым слагаемым, $\frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{\left(\frac{x}{48} \right)}^{\prime }}$и когда нужно найти ${{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.

Для начала проработаем первый вариант:

\[{{\left(\frac{x}{48} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{1}{48}\cdot x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{48}\cdot {x}"=\frac{1}{48}\cdot 1=\frac{1}{48}\]

С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:

\[\begin{align}& {{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}={{\left(48\cdot \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}= \\& =48\cdot \frac{{1}"\cdot x-1\cdot {x}"}{{{x}^{2}}}=48\cdot \frac{-1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $\frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:

\[\begin{align}& 48\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left({{x}^{-1}} \right)}^{\prime }}=48\cdot \left(-1 \right)\cdot {{x}^{-2}}= \\& =-48\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]

И так, и так мы получили один и тот же ответ.

Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{\left(\frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.

На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.

Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:

В этом примере произведение двух функций:

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для нашего примера, .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
   А исходная функция является их композицией: .
2. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
3. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
4. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
5. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.