ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕСИТЕТ”

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

ОТЧЕТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»

«Моделирование аттрактора Лоренца»

ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТЫ ГИП-105:

ЗАКОНОВ Н. И.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:

ПИЯВСКИЙ С. А.

Запрограммировать на языке С# модель Лоренца с отображением в виде диаграмм хода процесса, проверить правильность программирования, получив «бабочку Лоренца» при стандартных значениях параметров.

Наиболее яркий пример динамического хаоса обнаружил в 1963 году метеоролог Эдвард Лоренц, pешая задачу о тепловой конвекции жидкости.

Максимально упрощая уравнения, описывающие это явление, Лоренц случайно наткнулся на то, что даже сравнительно простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка может иметь решением совершенно хаотические тpаектоpии.

Эта система уравнений, ставшая теперь классической, имеет вид:

Решение этих уравнений - функции X(t), Y(t) и Z(t) - определяют в паpаметpическом виде тpаектоpию системы в тpехмеpном "фазовом" пpостpанстве X, Y,Z. Ввиду однозначности функций, стоящих в правых частях этих уравнений, тpаектоpия себя никогда не пересекает.

Лоpенц исследовал вид этих тpаектоpий пpи pазных начальных условиях пpи значениях паpаметpов r = 28 , у = 10 и b = 8/3 . Он обнаружил, что пpи этом тpаектоpия хаотическим образом блуждает из полупpостpанства x>0 в полупpостpанство x 24 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца.

Рисунок 5 – Модель системы при r < 24

Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением. Исследуя поведение системы при различных значениях набора параметров, можно убедиться в том, что существуют переходы между состояниями системы (графиками системы).

Наиболее интересно для меня является колебательная фаза, находясь в которой система колеблется между двумя статичными точками, но не достигает их.

1. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Системный анализ» / ; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т./ Самара, 20с.

Реферат

По дисциплине: Математика

„ Аттрактор Лоренца “

Аттрактор Лоренца

решение системы при r =0,3

решение системы при r =1,8

решение системы при r =3,7

решение системы при r =10

решение системы при r =16

решение системы при r =24,06

решение системы при r =28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r =100 ― виден режим автоколебаний в системе

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract - притягивать) ― инвариантное множество в трехмерном гладкого , которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно и все траектории из некоторой окрестности стремятся к при (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное для задачи о морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

конвекция в замкнутой петле;

вращение водяного колеса;

модель одномодового ;

диссипативный с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

где - скорость течения, - температура жидкости, - температура верхней границы (на нижней поддерживается ), - плотность, - давление, - сила тяжести, - соответственно , и кинематической .

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений записывается в . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник.

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное , σ - (отношение коэффициента кинематической к коэффициенту ), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.

Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.

Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.

Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в лазера, y - , z - инверсия населённостей , b и σ - отношения коэффициентов инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность .

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра , так как система приходит к только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

r < script > var cnv = document . getElementById ("cnv" ); var cx = cnv . getContext ("2d" ); var x = 3.051522 , y = 1.582542 , z = 15.62388 , x1 , y1 , z1 ; var dt = 0.0001 ; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt (cnv . getAttribute ("height" )); var w = parseInt (cnv . getAttribute ("width" )); var id = cx . createImageData (w , h ); var rd = Math . round ; var idx = 0 ; i = 1000000 ; while (i -- ) { x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w ); id . data [ idx + 3 ] = 255 ; } cx . putImageData (id , 0 , 0 );