Területi képlet szükséges egy ábra területének meghatározásához, amely egy valós értékű függvény, amely az euklideszi sík alakzatainak egy bizonyos osztályán van definiálva, és 4 feltételnek eleget tesz:

1. Pozitivitás – a terület nem lehet kisebb nullánál;
2. Normalizálás - az oldalegységgel rendelkező négyzet területe 1;
3. Egybevágóság – az egybevágó figurák területe egyenlő;
4. Additivitás - a közös belső pontok nélküli 2 figura egyesülésének területe megegyezik ezen figurák területének összegével.

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű technikákat, amelyekkel foglalkozni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához a matematika egységes államvizsga profiljának második részében más képleteket használnak a háromszög területének meghatározására. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika - osszuk fel ezt a figurát olyanokra, amelyekről mindent tudunk, és keressük meg a területét - ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a vízszintes vonalú négyszöget két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő És . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Egyes esetekben az ábra területe egyes területek különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámolni, hogy ennek a háromszögnek mekkora alapja és magassága! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalas és három derékszögű háromszögű négyzet területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Néha egy feladatban nem a teljes figura területét kell megtalálnia, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - egy kör részéről, keresse meg egy olyan kör sugarú szektorának területét, amelynek ívhossza egyenlő .

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. A teljes kör területe egyenlő. Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza egyenlő (mivel ), és egy adott szektor ívének hossza egyenlő , ezért az ív hossza többszöröse a teljes kör hosszának. Az a szög, amelyben ez az ív nyugszik, szintén kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.

A geometriai alakzatok területei számértékek, amelyek a méretüket jellemzik kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy nem rendszerszintű területegység egy század, egy hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A rendszer területegysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben a sík felület mértékegysége a négyzetméter. A GHS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkidomok területének számítása pontosan ezek alkalmazásán alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származik, amelyekből kiszámítják a négyzet méretét. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a lehető legegyszerűbb megoldást. Ez megkönnyíti a számítást, és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe a geometria ábráinak fő területeit.

A képletek bármely háromszög területének megtalálására több lehetőségben is bemutatásra kerülnek:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alapnak azt az oldalát tekintjük, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza az a,b oldalakat és az a és b közötti γ szög szinuszfüggvényét. A szinuszérték a táblázatokban található. Számológép segítségével is megtudhatja. Ekkor a háromszög területe:

Ezzel az egyenlőséggel azt is ellenőrizheti, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Tekintsünk egy speciális esetet - egy szabályos háromszöget, amelynek a oldala feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítási kifejezés a következő:

Ha az átlók hosszát kell használnia egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség lesz a metszéskor kialakult szög szinuszának függvényére. A téglalap területének képlete a következő:

Négyzet

A négyzet területét az oldalhossz második hatványaként határozzuk meg:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a négyzet téglalap. Minden oldal, amely négyzetet alkot, azonos méretű. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása azt jelenti, hogy az egyiket meg kell szorozni a másikkal, azaz az oldal második hatványával. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha az átlót használja:

Hogyan lehet kiszámítani egy olyan alak területét, amelyet egy kör által határolt sík rész alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre lesz szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikával, átlókkal határozzuk meg. A bizonyítás azon a tényen alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszai derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy derékszög esetén ez a függvény egyenlő az egységgel. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt sem nehéz bizonyítani, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ a rombusz belső szöge. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz alakú

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az (a és b) alapokon keresztül, ha a probléma a hosszukat jelzi? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számításhoz szükséges kifejezést:

Ugyanígy kiszámítható egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Figyelembe kell venni, hogy egy téglalap alakú trapézben a magasság és az oldal fogalma egyesül. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldaloldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Nézzük meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy alapnak nevezett körpár és egy oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara r-rel egyenlő. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérete megegyezik az adott párral. Az ellentétes arcok ugyanazokkal a paraméterekkel rendelkeznek. Először keresse meg S(1), S(2), S(3) - az egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ekkor a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két közös középpontú kör gyűrűt alkot. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Közülük az első, amely a gyűrű területét számítja, a nagyobb R és a kisebb r sugarakat tartalmazza. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők alapján számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak alapján a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem szabályos? Az ilyen számok területére nincs általános képlet. De ha koordinátasíkon van ábrázolva, például lehet kockás papír, akkor ebben az esetben hogyan lehet megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy teljes koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. Ha meg szeretné tudni, mi az a terület, használja a Peake által bizonyított képletet. Össze kell adni a szaggatott vonalon belül található pontok számát, amelyen a pontok fele található, és ki kell vonni egyet, vagyis a következőképpen kell kiszámítani:

ahol B, G - a pontok száma, amelyek a szaggatott vonalon belül és a teljes vonalon találhatók.