Очередей теория

раздел массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория). О. т. изучает системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке (часто с предоставлением приоритета определённым категориям требований). Выводы О. т. используют для рационального планирования систем массового обслуживания. С математической точки зрения задачи О. т. могут быть включены в теорию случайных процессов (См. Случайный процесс), а ответы часто бывают выражены в терминах Лапласа преобразований (См. Лапласа преобразование) искомых характеристик. Применение методов О. т. необходимо даже в простейших случаях для правильного понимания статистических закономерностей, возникающих в системах массового обслуживания.

Пример. Пусть имеется один обслуживающий прибор, на который поступает случайный поток требований. Если в момент поступления требования прибор свободен, то оно сразу начинает обслуживаться. В противном случае оно становится в очередь и прибор обслуживает требования одно за другим в порядке их поступления. Пусть а - среднее число требований, поступающих за время одного обслуживания, а Т - длительность периода занятости, то есть промежутка времени от момента занятия прибора каким-либо требованием, заставшим прибор свободным, до первого момента полного освобождения прибора. О. т. показывает, что при естественных допущениях математическое ожидание Т равно m = 1/(1 - а), а дисперсия равна (1 + a ) m 3 (так, при а = 0,8 соответствующие значения равны 5 и 225). Таким образом, для «хорошо загруженного» обслуживающего прибора (то есть при а, близких к 1) среднее значение m случайной величины Т является весьма ненадёжной характеристикой Т.

Лит.: Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н., Введение в теорию массового обслуживания, М., 1966; Приоритетные системы обслуживания, М., 1973.

Ю. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

• Очанка
• Очередные задачи советской власти

Смотреть что такое "Очередей теория" в других словарях:

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - в математике раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают ее освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке … Большой Энциклопедический словарь

очередей теория - (матем.), раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке. * * * ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ, в… … Энциклопедический словарь

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - см. Массового обслуживания теория … Большой энциклопедический политехнический словарь

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - раздел массового обслуживания теории. О. т. изучает системы, в к рых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают ее освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке (часто с предоставлением приоритета определенным… … Математическая энциклопедия

ОЧЕРЕДЕЙ ТЕОРИЯ - (матем.), раздел теории массового обслуживания, где изучаются системы, в к рых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке … Естествознание. Энциклопедический словарь

Теория массового обслуживания - (теория очередей) раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие… … Википедия

теория массового обслуживания - — теория массового обслуживания Раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других… … Справочник технического переводчика

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания - раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения каких… … Экономико-математический словарь

Теория очередей - см. Теория массового обслуживания … Экономико-математический словарь

Книги

• Логистика и теория очередей
• Логистика и теория очередей , Рыжиков Ю.И.. В учебном пособии рассматривается современное состояние теории логистики, обсуждаются элементы математической модели управления запасами и основы численных методов теории очередей;…

Сегодня во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Изучение таких ситуаций относится к задачам теории очередей.

При дальнейшем развитии массового обслуживания применение принципов теории очередей в управлении различного рода организациях является необходимым условием их благополучного функционирования. Если клиенты долго ожидают своей очереди, то они вряд ли будут совершать повторные покупки в универмаге, где им пришлось полчаса ждать, пока их обслужат, так как людям не нравится тратить время на ожидание. Основной целью теории очередей является изучение принципов функционирования системы обслуживания при возникновении очередей и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания.

Время пребывания требования в очереди можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, возникает проблема, каким образом достичь максимального сокращения очереди или потерь требований при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

Понятие теории очередей

Теория очередей в русскоязычной литературе чаще именуется теорией массового обслуживания. Действительно, во многих работах они трактуются как равнозначные, в других – теория очередей рассматривается лишь как раздел теории массового обслуживания, поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами, например, когда система занята, а очередь требований не образуется, так как им "отказывается" в обслуживании. Термин "массовое" предполагает статистическую устойчивость картины и многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле: много прибывших в систему и обслуженных заявок, большое число находящихся в эксплуатации аналогичных систем.

Теория очередей и теория массового обслуживания используются как равнозначные, так как мы не рассматриваем системы с отказами.

"Теория очередей – раздел прикладной математики, изучающий процессы, связанные с удовлетворением массового спроса на обслуживание, с учетом случайного характера спроса и обслуживания". Сюда относятся системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера, случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание.

Теория очередей возникла в начале XX в. на базе задач телефонии: требовалось найти способ определения числа телефонных линий, обеспечивающий удовлетворительное обслуживание абонентов. Специфику этой задачи составляет случайный характер моментов, когда абоненты вызывают друг друга, и длительность разговора. Вначале задача решалась эмпирическим путем; затем начала строиться теория, основанная на методах теории вероятностей. Задачи, аналогичные по математической постановке задачам телефонии, возникли при создании предприятий массового обслуживания, аэропортов, дорог автомобильных, при планировании железнодорожных перевозок, запасов продукции и т.п. Во второй половине 60-х гг. теория очередей стала применяться к различным задачам кибернетики: организации взаимодействия вычислительных машин, теории надежности, операций исследованию, радиотехнике, радиолокации и др.

В то же время "теория очередей – раздел исследования операций, который рассматривает разнообразные процессы в экономике, а также в телефонной связи, здравоохранении и других областях, как процессы обслуживания, т.е. удовлетворения каких-то запросов, заказов (напр., обслуживание кораблей в порту – их разгрузка и погрузка, обслуживание токарей в инструментальной кладовой цеха – выдача им резцов, обслуживание клиентов в прачечной – стирка белья и т. д.)".

При всем разнообразии эти процессы имеют общие черты:

Требования на обслуживание нерегулярно (случайно) поступают в канал обслуживания (место у причала, окно в раздаточной);

В зависимости от занятости канала, продолжительности обслуживания и других факторов образуют очередь требований.

Теория очередей изучает статистические закономерности поступления требований и на этой основе вырабатывает решения, т.е. такие характеристики, при которых затраты времени на ожидание в очереди, с одной стороны, и на простой каналов обслуживания – с другой, были бы наименьшими. Так можно рассматривать сумму потерь времени на ожидание в очередях и на простои каналов обслуживания (хранение товаров на складах) как меру эффективности изучаемой экономической системы: чем меньше потери, тем выше эффективность.

"Теория очередей изучает системы, в которых требования, застающие систему занятой, не теряются, а ожидают её освобождения и затем обслуживаются в том или ином порядке, также возможно предоставление приоритета определённым категориям требований".

Выводы теории очередей используют для рационального планирования систем массового обслуживания. Применение методов теории очередей необходимо даже в простейших случаях для правильного понимания статистических закономерностей, возникающих в системах массового обслуживания.

"Система массового обслуживания – объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций".

С точки зрения теории очередей это совокупность пунктов, на которые в случайные или неслучайные моменты времени поступают заявки на обслуживание или требования, подлежащие удовлетворению.

"Система массового обслуживания состоит из обслуживаемой и обслуживающей систем. Обслуживаемая система включает совокупность источников требований и входящего потока требований. Обслуживающая система состоит из накопителя и механизма обслуживания".

Система характеризуется следующими параметрами:

Требование/заявка – каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.

Входящий поток требований – требования, поступающие от всех источников в обслуживающую систему.

Время обслуживания – время, в течение которого выполняется заявка.

Интерактивность обслуживания – количество требований, обслуживаемых одним каналом в единицу времени.

Блок обслуживания – та часть системы обслуживания, в которую поступает поток требований. Он может состоять из одного или нескольких "приборов", "каналов", под которыми понимаются устройства или люди, осуществляющие обслуживание.

Примеров систем массового обслуживания можно привести очень много. Телефонная сеть: здесь заявка – вызов абонента, обслуживающее устройство – коммутатор. Универсам: заявка в этом случае – приход в магазин покупателя, а обслуживающее устройство – касса.

Можно, правда, рассматривать работу универсама и с противоположных позиций: считать, что кассир, ожидающий покупателя, – это заявка на обслуживание, а обслуживающее устройство – это покупатель, способный удовлетворить заявку, т.е. подойти к кассе с покупками и прекратить вынужденный простой кассира. Возможность такого двойственного подхода является основой для оптимизации структуры исследуемых систем.

Если, например, в магазине работает лишь одна касса, а покупатели заходят часто, то возникнет очередь покупателей, ожидающих обслуживания. Если же, наоборот, покупатели заходят редко, а кассиров несколько, то возникнет очередь кассиров, ожидающих покупателя. В обоих случаях магазин несет потери: в первом случае потому, что не все желающие купить товар будут обслужены, а во втором – потому, что кассиров слишком много и часть фонда их заработной платы будет расходоваться напрасно.

Поэтому, критерием правильности организации работы магазина может служить средняя сумма времени ожидания покупателя и времени ожидания кассира. Работа магазина организована наилучшим образом, если эта величина минимальна.

Задачи теории очередей

"Очередь представляет собой последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения, а затем они обслуживаются в том или ином порядке. Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих каналов или средств обслуживания. Это ключевое понятие теории очередей".

Процесс образования очереди носит стохастический характер, так как состоит из случайных переменных, значения которых меняются во времени.

Очереди требований или заявок подразделяются, прежде всего, на замкнутые и линейные.

В первом случае обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовать замкнутую очередь для зарядно-аккумуляторной станции этого парка. Или мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на еще одну наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Во втором случае обслуженные требования не возвращаются в систему, например, зарядно-аккумуляторная станция общего пользования на автостраде. Также примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Дисциплина обслуживания – совокупность правил, пользуясь которыми, из очереди выбирают требования для обслуживания. По дисциплине обслуживания очереди также подразделяются на ряд видов: живая очередь, очередь с приоритетами, когда отдельным требованиям отдается предпочтение, случайные очереди и т.д.

Также важными параметрами являются длина очереди, т.е. среднее число ожидающих требований, и время ожидания обслуживания – среднее время пребывания требования в системе до момента начала обслуживания.

Задачи теории очередей, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания, теория очередей определяет соответствующие характеристики качества обслуживания: вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.

Время обслуживания – это время, затрачиваемое системой на обслуживание отдельного требования. Чаще всего длительность обслуживания является случайной величиной и характеризуется максимально возможным временем обслуживания. Это означает, что вероятность того, что время, затраченное на обслуживание требования, не больше чем предельно допустимое время.

Расчет пропускной способности системы подразумевает определение максимального числа требований, которые могут быть обслужены одновременно. Требования обслуживаются с помощью канала обслуживания. Канал обслуживания означает устройство, средство или человека, способное в заданный момент времени обслуживать лишь одно требование. Пропускная способность канала – один из определяющих параметров при решении задач теории очередей. Другой его важнейшей характеристикой является среднее время обслуживания одной заявки.

Доступность системы включает определение всевозможных причин, по которым число требований, удовлетворяемых одновременно, меньше, чем пропускная способность.

Кроме того, вся система может быть время от времени не готова к приему требований, например, обеденный перерыв в магазине, поэтому доступность включает характеристики времени "отключения" системы. Время "отключения" системы чаще всего считают, так же как и длительность обслуживания, случайной величиной и описывают вероятностью того, что канал или вся система отключается на определенное время. Реальные системы часто "неполнодоступны", хотя существуют и "полнодоступные" системы.

Важную роль в выполнении задач теории очередей выполняют модели теории очередей, с помощью которых проектируются модели оптимального обслуживания.

Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории очередей могут быть полезны, можно отнести звонки людей в авиакомпанию для резервирования места и получения информации, ожидание в очереди на машинную обработку данных, мастеров по ремонту оборудования, очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько поездок за день, сколько положено. Таким образом, одна принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты. Вторая принципиальная проблема заключается в поддержании потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального: грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания.

"Основная причина недостатка в каналах обслуживания заключается в краткосрочных изменениях частоты обращения потребителей за обслуживанием, а также времени обслуживания. Это ведет к избыточной пропускной способности в определенные моменты времени и появлению очередей в другие, хотя пропускная способность могла бы быть достаточной, если бы осуществлялся полный контроль за поступлением требований и можно было бы построить соответствующий график".

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.

Рассмотрим общую постановку задачи теории очередей в массовом обслуживании.

Имеется некоторая система, предназначенная для обслуживания поступающих в нее заявок или требований. Система располагает определенным количеством рабочих мест или средств обслуживания (каналы обслуживания). Поступление требований в систему и время их обслуживания носят случайный характер. При этом в системе возникают ситуации, когда:

1) либо образуется очередь требований в ожидании обслуживания;

2) либо простаивают каналы обслуживания.

И то и другое приводит к увеличению издержек обслуживания.

Чтобы не допустить неоправданного увеличения издержек, можно:

1) изменить среднее количество требований, поступающих в систему в единицу времени;

2) изменить количество каналов обслуживания;

3) изменить оба параметра.

Задачи теории очередей рассматриваются для действующих и проектируемых систем.

Для действующих систем дают количественную оценку функционирования системы и ее отдельных элементов, на основании которой принимают решения, направленные на совершенствование работы системы и улучшение ее организации.

Для проектируемых систем определяют ее оптимальные качественные и количественные характеристики:

1. Оптимальное количество каналов обслуживания.

2. Вероятность возникновения нежелательных ситуаций (простой каналов обслуживания, простой требований в очереди).

Таким образом, в любом из двух случаев модель задачи массового обслуживания включает в себя:

Поток заявок;

Каналы обслуживания;

Организацию очереди и дисциплину обслуживания;

Показатели эффективности.

Рассмотрим данные элементы задачи теории очередей.

Входящий поток требований представляет собой последовательность требований, поступающих в канал обслуживания. Требования возникают случайно и требуют определенного, обычно заранее точно не предсказуемого времени для их удовлетворения.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Поток заявок однороден, если все заявки равноправны и рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

В простейшем случае вероятность появления требования в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет требования в предшествующие промежутки времени.

Простейший поток важен по следующим причинам:

1. Сумма конечного числа независимых простейших потоков образует простейший поток с интенсивностью, равной сумме интенсивностей составляющих.

2. Сумма независимых стационарных потоков с ограниченным последействием при условии малой интенсивности составляющих в сравнении с суммарной интенсивностью при условии, что сумма потоков стремится к бесконечности, сходится к простейшему потоку.

3. Случайное прореживание произвольного стационарного ординарного потока с ограниченным последействием, т.е. выбрасывание каждого очередного требования независимо с некоторой вероятностью, при увеличении вероятности выбрасывания приближает поток к простейшему.

4. Вероятность наступления события простейшего (и только простейшего) потока на малом интервале времени пропорциональна продолжительности этого интервала и не зависит от его времени наступления интервала и его окончания, что дает колоссальные расчетные преимущества.

С его помощью возможно спроектировать модели, описывающие положение системы без учета других факторов.

Указанные свойства наблюдаются часто, но не всегда. Например, интенсивность потока заявок может зависеть от времени суток или года, заявки могут поступать группами постоянного или случайного объема. В случае неординарного потока требований в виде "пачек" постоянного объема удобнее переходить к ординарному потоку групповых заявок.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса: в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца. Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами.

Входящий поток требований называется стационарным, если вероятность поступления определенного числа требований за какой-то промежуток времени определяется только величиной этого промежутка и не зависит от момента его начала. Если требования могут поступать в систему только по одному, то такой поток называется ординарным. Если числа поступающих за разные промежутки времени заявок взаимно независимы – это поток без последействия.

Если требования поступают в определенные моменты времени, то говорят о дискретном входящем потоке. Системы с такими потоками наиболее распространены. К их числу относятся, например, телефонная сеть, универсам. Встречаются и системы с непрерывным входящим потоком. Примером может служить газгольдер, в который непрерывно поступает газ, причем снятие с хранения, так как в данном случае именно это и является обслуживанием, может осуществляться как дискретно, ведь газ может требоваться отдельными порциями, так и непрерывно.

Если в систему может поступить одновременно только конечное число требований, входящий поток называется ограниченным; в противоположном случае – неограниченным. Например, если ремонтная бригада обслуживает участок из 30 станков, то число требований – отказов станков – не может быть одновременно более 30, а в задаче о нагрузке телефонной сети входящий поток обычно можно считать неограниченным.

Системы обслуживания по числу установленных устройств делятся на одно- и многоканальные. Количество требований, одновременно могущих находиться на обслуживании, не превышает числа каналов. В многоканальной системе массового обслуживания поступившее требование может быть обслужено одним из нескольких каналов, входящих в блок обслуживания. Каналы могут быть однородными, специализированными по типам заявок, различающимися интенсивностью обслуживания и т.п.

Заявки, пришедшие в занятую систему, не могут быть обслужены немедленно и образуют очередь. Очередь может быть ограничена максимальной длиной или максимальным временем пребывания в ней. Примером задачи с временным ограничением является прибытие на стройку самосвала с бетонной смесью. При нарушении ограничения заявка получает отказ. Введение ограничения автоматически исключает очень большие задержки, но связано с дополнительными "штрафами" за отказ в обслуживании.

Вновь прибывшая заявка в зависимости от организации и назначения системы становится либо в конец очереди (дисциплина FCFS: First Come – First Served), либо в ее начало (LCFS: Last Come – First Served). Последний вариант иначе называется стековым ("магазинным") принципом.

При неоднородных заявках может вводиться приоритетное обслуживание. В этом случае заявки выстраиваются в несколько очередей, и в освободившийся канал поступает заявка из непустой очереди с наивысшим приоритетом. В некоторых ситуациях (абсолютный приоритет)

Наиболее важными показателями эффективности системы являются:

1. вероятность отказа в приеме заявки на обслуживание;

2. вероятность нулевого ожидания, т.е. вероятность того, что требование будет обслужено сразу после поступления в систему;

3. время пребывания заявки в системе;

4. время ожидания начала обслуживания;

5. длина очереди;

6. распределение и моменты длительности непрерывной занятости системы.

Также системы оценивают по характеристикам распределения времени пребывания. Характеристики ожидания и, в частности, его средняя длительность отражают цену, которую клиент должен заплатить за совместное с другими клиентами использование обслуживающей системы.

Использование теории очередей при создании систем массового обслуживания в коммерческой деятельности

Природа массового обслуживания, особенно в такой сфере, какой является коммерческая деятельность, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме этих операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всего производства ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания – продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом – выступает в роли заявки на обслуживание, например, к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания – СМО, структурная модель которой представлена на рис. 1.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономиста, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Рисунок 1. Структурная модель одноканальной системы массового обслуживания

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, от состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой – от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно сократить пребывание покупателя в супермаркете и повысить интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы "слепым" методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе, более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в универмаге дает следующие ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета – 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки при выходе из магазина. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех – в 1,9, пяти – в 2,9 раза.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах коммерческой деятельности, например, обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении некоторой потребности большого числа потребителей.

Любой запрос на удовлетворение какой-либо потребности является заявкой или требованием. Например, заявками, нуждающимися в обслуживании, являются покупатели в магазинах, заявки на телефонные разговоры, заявки на получение товара и т.д.

Под обслуживанием заявок понимается удовлетворение потребности. Обслуживание в приведенных примерах имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом в одной секции магазина), в некоторых – группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях – техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, – выходящим потоком.

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи необслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи необслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслужено любым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания. Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена система обслуживания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в систему массового обслуживания, выступают с высокими претензиями еще и на качество обслуживания в целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся и рассматриваемых непосредственно в теории массового обслуживания, но и дополнительные характерные для специфики коммерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслуживания, требования к их уровню которые к настоящему времени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Работу системы обслуживания характеризуют такие показатели, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для обслуживания и улучшения показателей коммерческой деятельности.

Использование теории очередей в системе дистанционного образования при расчете оптимальной пропускной способности системы

В вопросах ценообразования в сфере дистанционного образования (ДО) вполне очевидной выглядит необходимость расчета оптимальной пропускной способности самой системы ДО, обусловленной технологическими ограничениями системы, как то суммой ставок профессорско-преподавательского состава (ППС) для каждого курса отдельной специальности, учебным планом и т.п., т.е. в самом общем случае трудоемкостью учебного процесса. Отталкиваясь от оптимальной пропускной способности можно рассчитать нижний предел себестоимости услуг ДО, что в дальнейшем окажется необходимым для сравнительного анализа цены в сопоставлении с потребительской и конкурентной ценами.

Сначала коротко рассмотрим самый очевидный метод расчета предельно допустимого количества ст. в системе (как параметра пропускной способности системы), основанный на простом арифметическом выражении, учитывающем производственные возможности научно-педагогического потенциала вуза.

Технологические возможности процесса оказания услуг ДО ограничиваются трудоемкостью учебно-методического сопровождения. Последняя инициатива Минобразования РФ, касающаяся установления нормативов численности студентов в расчете на единицу ППС, относится к формированию в 1999 г. рабочей группы (Приказ от 14.05.99 N 1302), по результатам деятельности которой подготовлен отчет, не нашедший, однако, практической реализации. Тем не менее, данные исследования позволяют рассматривать следующие соотношения численности студентов для вузов:

Студенты очной формы – 1:10

Студенты очно-заочной формы – 1:18,75

Студенты заочной формы – 1:43,75

Студенты-иностранцы – 1:7,50

Аспиранты очной формы – 1:7,50

Аспиранты заочной формы – 1:10

Слушатели ФПК и ИППК – 1:7,50

Слушатели подготовительных отделений – 1:10

Ординаторы – 1:3,75

Интерны – 1:5.

Для целей нашей работы остановимся, например, на соотношении, предложенном для студентов заочной формы обучения, т.е. 43,75 студента на единицу ППС.

Следовательно, взяв за основу текущую обеспеченность трудовыми ресурсами учебного процесса дистанционного образования, и опираясь на предложенные нормативы, исходя из данных учебного плана для курса специальности (i), рассчитываем среднюю нагрузку на единицу ППС (для заочной формы обучения):

Q_i = численность_i ППС \xx 43,75\xx ((ЧаГ – ЧаСР)/ЧаКП, согл.учебному плану_i) (1)

ЧаГ – число академических часов в году (исследуемом периоде),

ЧаСР – число академических часов, предусмотренных для самостоятельной работы студента, согласно учебного плана,

ЧаКП – число академических часов, предусмотренных для консультаций с преподавателями, согласно учебного плана.

В расчетах принимает участие численность ППС с полной рабочей ставкой, иначе говоря сумма ставок ППС по данной специальности, т.е. она необязательно выступает целым числом. Отметим, что необходимо соблюдать единообразие в формулировках относительно академических и рабочих часов. В числителе введено выражение для расчета суммы академических часов для периода, в течение которого студент может обратиться за консультацией к преподавателю. Поясним его.

Ключевым нормативным ведомственным актом, направленным на правовое регулирование дистанционного образования, является Приказ Минобразования РФ от 18 декабря 2002 г. № 4452 "Об утверждении Методики применения дистанционных образовательных технологий (дистанционного обучения) в образовательных учреждениях высшего, среднего и дополнительного профессионального образования Российской Федерации". Он прямо указывает на обязанность образовательного учреждения обеспечивать каждому обучающемуся возможность доступа к средствам дистанционного обучения и основному информационному ресурсу в объеме часов учебного плана, необходимых для освоения соответствующей образовательной программы или ее части, независимо от формы обучения (очная, вечерняя, заочная) (п.11). Из этого выражения (1) перейдем к следующему равенству:

Q_i/(Ч_а Г – Ч_а СР) = (численность_i ППС \xx 43,75)/ЧаКП, согл.учебному плану_i (2)

Отношение в левой части равенства является, фактически, средней интенсивностью потока заявок в системе массового обслуживания, в дальнейшем станем обозначать его через λ. Отношение в правой части равенства представляет собой интенсивность обслуживания, в дальнейшем обозначаемую через μ. При выполнении условия:

((\r = \l /\m)) <= 1 (3), где

ρ – т.н. коэффициент загрузки системы, система работает в стационарном режиме. В стационарном режиме среднее число заявок в СМО постоянно, поэтому среднее число заявок, приходящих в СМО в единицу времени, равно среднему числу заявок, в единицу времени, уходящих из СМО. Следовательно, в стационарном режиме интенсивность потока уходящих заявок равна λ. Коэффициент загрузки ρ в стационарном режиме есть:

а) среднее значение той части единицы времени, в течение которой канал занят;

б) вероятность того, что канал занят;

в) среднее число заявок в канале.

Именно с этого момента мы начинаем говорить о механизме ДО, как о системе массового обслуживания и вносим при этом некоторые специфические поправки в выражения.

Рассматриваемая система относится к виду многоканальных (по числу дисциплин) СМО с очередью (ожиданием). В принятой системе обозначений она выглядит как M|M|n, т.е. система с n каналов обслуживания (количества дисциплин согласно учебного плана), в которой закон распределения вероятностей для входящего потока заявок и обслуживания является экспоненциальным.

Поскольку мы рассматриваем в качестве каналов обслуживания не штатную единицу ППС, а именно дисциплину, то логично будет записать следующее выражение для λ:

\l = n\xx (Q_i/(ЧаГ – ЧаСР)) (4), где

n – число дисциплин, согласно учебного плана. Т.е. в нашем случае мы рассматриваем каждого студента как источник n заявок, которые могут занимать систему. Это имеет смысл, поскольку, в частности, мы принимаем значение μ за среднее и рассматриваем пропускную способность канала относительно единовременного запроса студента, а не совокупности таких запросов, что было бы некорректно.

Для многоканальной СМО \r = \l \xx Т_обсл/n (5), где

Тобсл есть среднее время обслуживания канала, или. Его значение также должно удовлетворять выражению стационарности (3).

L = \b_0 \xx ((\l Т_обсл)^(n+1)/(n!n(1-\l Т_обсл/n)^2)) (6), где

где β0 – стационарная вероятность того, что в СМО нет заявок. Эта вероятность определяется в виде:

\b_0 = 1/((\l Т_обсл)^n/n!(1-\l Т_обсл/n)+sum(m=0,n-1, (\l Т_обсл)^m/m!)) (7)

Варьируя численность студентов в системе, мы получаем закон распределения длины очереди, представленный, например, на рисунке 2.

Рисунок 2. Зависимость средней длины очереди L в системе дистанционного образования от количества студентов Qi.

Следует обратить внимание, что предельное значение Qi отнюдь не выражает оптимального состояния системы с т.з. удовлетворения качественных потребностей потребителя услуг. Действительно, мы замечаем, что длина очереди, и, следовательно, время ожидания заявки в системе заметно прогрессирует при, достигая недопустимых значений. Однако появляется возможность выбора того оптимального значения Qi, при котором потребитель будет удовлетворен режимом обслуживания. С точки зрения маркетинга ДО, этот показатель будет важен не только при калькуляции себестоимости и последующего ценообразования, но и при анализе технологических возможностей конкурентов.

Использование методов теории очередей в маркетинговых исследованиях в области дистанционного образовании выглядит достаточно целесообразным.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М: Высшая школа, 2003.

2. Грачева М.В. Моделирование экономических процессов. – М.: Юнити-Дана, 2005 г.

3. Касамин Н.С. Элементы теории и практики управления очередями в организациях. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003.

4. Косоруков О.А. Исследование операций. – М.: Экзамен, 2005.

5. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. – М.: Высшая школа, 2004.

6. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. – СПб: Питер, 2004.

7. Соломенцев Ю.М.Технологические основы гибких производственных систем. – М.: Вузовский учебник, 2007 г.

8. Уткин В.Б., Балдин К.В. Информационные системы и технологии в экономике. – М.: Юнити, 2005.

9. Фомин Г.П., Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М: Финансы и статистика, 2004.

10. Хемди А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2004.

11. Шапкин, А.С. Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Дашков и К, 2004.

12. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский Государственный Технический Университет – УПИ»

Теория очередей. Закономерности образования очередей и способы предсказания среднего размера очереди.

По дисциплине: Теория информационных процессов и систем

Екатеринбург, 2007г.

ВВЕДЕНИЕ
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭРЛАНГА
1.1. Составление уравнений
1.2. Определение стационарного решения
1.3. Некоторые подготовительные результаты
1.4. Определение функции распределения длительности ожидания
1.5. Средняя длительность ожидания
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2.1. Математическая модель
2.2. Решение поставленной задачи
2.3. Анализ результатов
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение.

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах, в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах организации в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств.

В теории систем массового обслуживания обслуживаемый объект называют требованием . В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Системы массового отсчета с ожиданием распространены наиболее широко. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком. Их можно разделить на две группы:

1) Замкнутые - системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

2) Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Это можно изобразить так:

https://pandia.ru/text/78/375/images/image001_340.jpg" width="61" height="19">Входящий поток Очередь

Обслуживающие устройства Выходящий поток

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность тре­бований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономер­ностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также ин­тервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хоро­шо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называет­ся простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности , которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия , которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляется к нулю).

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого.

1. Классическая задача Эрланга.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга: На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l . Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования.

Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) .

За x берем время (часы, минуты и т. д.).

Предполагается, что при x ³ 0

F(x) = 1 - e- m x

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения вероятностей F(x) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение вероятностей F(x) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a , продлится еще не менее чем t . В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e- m t .

f 0 (a )= e - m a и f 0 (a + t )= e - m (a +1) .

А так как всегда

f0(a+t) = f0(a) fa(t), то e- m (a+t) = e- m a f0(t)

и, следовательно,

fa(t) = e- m t = fo(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная величина. Предположение распределения вероятностей F(x) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением распределения вероятностей F(x) . Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга , плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение вероятностей F(x)

Обозначим для случая распределения вероятностей F(x) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

1. Составление уравнений.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

В момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

В момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Таким образом,

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая:

1) Пусть вначале 1 £ k < m . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h . Эти состояния таковы:

В момент t Ek , за время h новых требований не поступило, и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek-1 , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее

равенство:

Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению

для 1 £ k < m:

2) Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений. Ее решение представляет несомненные технические трудности.

2. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t ® ¥ . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим, что при t ® ¥ .

Сказанное позволяет заключить, что уравнения

для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

при 1 £ k < m

при k ³ m

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения:

при 1 £ k < m

при k ³ m

Система уравнений в этих обозначениях принимает такой вид:

z1 = 0, zk - zk+1 = 0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1 zk = 0

т. е. при 1 £ k < m

k m Pk = l Pk-1

и при k ³ m

m m Pk= l Pk-1

Введем для удобства записи обозначение

r = l / m .

Уравнение k m Pk = l Pk-1 позволяет заключить, что при 1 £ k < m

При k ³ m из уравнения m m Pk= l Pk-1 находим, что

и следовательно, при k ³ m

Остается найти P0. Для этого в подставляем выражения полученного Pk.

В результате

Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m

то при этом положении находим равенство

Если условие r < m не выполнено, т. е. если r ³ m, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0..gif" width="71" height="44 src=">при всех k ³ 1 оказывается Pk = 0.

Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при r ³ m с течением времени очередь стремится к ¥ по вероятности.

3. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой g . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через P { g > t } вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk { g > t } вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

P { g > t } = .

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения.

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

4. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k - m требований, то поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены

k – m + 1 требований.

Пусть qs(t) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно S требований. Ясно, что k ³ m имеет место равенство

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и независящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т. е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул и следует, что , поэтому при t>0

.

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t = 0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

5. Средняя длительность ожидания.

Формула позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

Дисперсия величины g равна

.

Формула дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T . За время T в систему поступает l T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые про­демонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т = 1 и т = 2.

При т=1 в силу (20)

При р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

При m = 2 в силу (24)

При = 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Постановка задачи.

На станции технического обслуживания (СТО) легковых автомобилей имеется 7 рабочих мест по обслуживанию клиентов. По статистическим данным в час поступает 2 заявки на обслуживания легковых автомобилей. Среднее время обслуживания 1 заявки составляет 3 часа 24 минуты.

Если поступивший клиент застает на СТО весь рабочий персонал занятым, то он встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится рабочее место.

Каждый мастер, в любой момент времени, может обслуживать не более одного клиента. Обслуженный клиент покидает СТО.

Проанализировать структуру и процесс обслуживания СТО. Для этого требуется разработать показатели эффективности систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективное функционирование системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее число занятых приборов; коэффициент загрузки системы.

1. Математическая модель.

Имеем систему массового обслуживания, из n = 7 идентичных приборов, на которую поступает поток требований α = 2, интенсивностью β = 0,29411(1/ч).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность DIV_ADBLOCK171">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image057_47.gif" width="231 height=25" height="25">

где https://pandia.ru/text/78/375/images/image059_45.gif" width="15 height=28" height="28">.gif" width="716 height=299" height="299">

Рис.1. Требование в системе.

Пусть D t – достаточно малый промежуток времени. Вероятность того, что в СМО за время D t не поступит ни одного требования:

Вероятность того, что в СМО за время Dt поступит одно требование:

Вероятность того, что за время Dt в СМО поступит два или более требований:

Вероятность того, что за время Dt требование будет обслужено:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено два или более требования:

Вероятность того, что за время Dt будет обслужено одно из к требований, находящихся в системе, найдем следующим образом:

Https://pandia.ru/text/78/375/images/image069_37.gif" width="381 height=48" height="48">;

Проблема очередей - одна из наиболее острых для многих организаций. Люди каждый день стоят в очередях у кассы в продуктовом магазине или у театральной кассы, сидят в ожидании приема у врача, в приемной комиссии вузов или в бюро занятости населения. Модель теории очередей позволяет, повысив эффективность работы организации, уменьшить очереди и подсчитать время ожидания в очереди и приблизительные убытки, которые несет организация из-за наличия очередей. Модель может быть полезна при решении самых разных проблем: менеджерам авиакомпаний (самолеты приземляются и обслуживаются в порядке очереди), работникам магазинов (очереди у кассы), директорам заводов (этапы прохождения сырья через различные производственные циклы), работникам медицинских учреждений (контроль оборачиваемости койко-мест).

Существует большое количество моделей теории очередей из-за необходимости описывать различные ситуации очередей. Очереди при «обслуживании одиночнъос требований», т.е. когда обслуживание происходит в одной точке, бывают, например, у стойки кассира в ресторане или у единственного операционного окна на почте. Очереди при «обслуживании многочисленных требований» наблюдаются, например, на той же почте при одновременном обслуживании несколькими операторами одной очереди.

Ситуации с очередями становятся более сложными при наличии большого количества очередей и большого количества служащих (как в супермаркете) либо когда люди или организационные единицы, нуждающиеся в обслуживании, должны пройти через несколько точек обслуживания (что типично, например, при получении водительских прав).

Выделяют четыре основных типа очередей, схемы которых приведены на рис. 6.15.

Очередь у врачебного кабинета представляет хороший пример одно- каналъной однофазовой очереди. Очередь только одна - существует только один канал обслуживания; врач только один - существует только одна зона обслуживания. Пациенты ожидают приема и допускаются к врачу в соответствии со временем, указанном в талончике.

Ожидание у кассы в продовольственном магазине - типичный пример многоканальной однофазовой очереди.

Примером одноканальной многофазовой очереди служит очередь на мойке автомобилей. Машины стоят в одной очереди, но проходят несколько фаз обслуживания: мойка, ополаскивание, сушка и полировка.

Рис. 6.15.

а - одноканальная; б - многоканальная однофазовая очередь; в - одноканальная многофазовая очередь; г - многоканальная многофазовая очередь

Примеры многофазовых многоканальных очередей в изобилии встречаются на производстве, где выпускается несколько видов продукции. Количество каналов, как правило, соответствует количеству выпускаемых наименований продукции, а количество фаз определяется количеством технологических операций от начала до конца производства.

В отличие от линейного программирования, модель теории очередей, или модель массового обслуживания, не обеспечивает оптимального решения. Более того, модели позволяют менеджерам разнообразить параметры ситуаций и определять возможные последствия.

Например, представьте себя менеджером банка, где есть четыре кассира, которые обслуживают клиентов, заключающих сделки. У каждого из четырех окон существует отдельная очередь. Клиенты всегда склонны выбирать самую короткую очередь. Однако часто случается так, что самая короткая очередь оказывается самой медленной, из-за того что с кем-то в ее начале проводят операцию, требующую длительного времени. Банк обеспокоен тем, что клиенты раздражаются, когда они задерживаются в длинной очереди; от коллег из других банков вы узнаете, что они установили системы, в которых все машины по обработке заявок ожидают в единой очереди, поэтому каждый следующий клиент из очереди направляется к первому освободившемуся окну.

При изучение ситуации оказывается, что клиенты прибывают в среднем со скоростью 16 человек в час, а каждый кассир справляется со сделками со средней скоростью 8 сделок за час.

В этом случае вы могли бы использовать модели теории очередей в качестве помощи, для того чтобы оценить разницу во времени ожидания в действующей системе и в альтернативной системе единой очереди для всех клиентов. Предположим, что анализ модели теории очередей показал, что клиентам приходится ждать обслуживания в среднем 7,5 минут в условиях существующей системы, но они бы ждали в среднем только 0,654 минуты в единой очереди для всех клиентов, и тогда вы, возможно, захотите изменить существующий порядок в целях достижения значительных улучшений в обслуживании. Таким образом, хотя модели теории очередей не подсказывают оптимального решения, они предоставляют данные, необходимые менеджерам для планирования наиболее эффективного обслуживания клиентов и покупателей. Модели теории очередей являются дорогими, если их разрабатывать для уникальных и сложных ситуаций. Однако существующее разнообразие моделей соответствует многим ситуациям, которыми могут заинтересоваться менеджеры. Возрастающее количество таких моделей в пакетах программного обеспечения делает их использование экономнее и проще. Приведем пример, позволяющий понять, каким образом производятся расчеты матрицы массового обслуживания.

Администратор универсама должен обеспечить работу необходимого количества кассиров. Это количество определяется двумя факторами:

• убытками, которые несет универсам вследствие оплаты простоя кассиров из-за отсутствия покупателей;
• убытками от потери клиентов из-за долгого ожидания в очередях.

Задача администратора сводится к тому, чтобы минимизировать

убытки как в первом, так и во втором случае. Иначе говоря, администратору нужно добиться самых коротких очередей при минимальном числе работающих кассиров. Он посчитал, что универсам не теряет ни одного клиента в течение первых четырех минут ожидания в очереди. Каждая дополнительная минута обходится универсаму в 10 долларов, так как покупатели устают ждать и покидают магазин. Затем он высчитал, сколько времени покупатели будут стоять в очереди при условии одновременной работы одного, двух, трех и четырех кассиров, а также стоимость работы кассиров. Результаты этих вычислений приведены в табл. 6.5. Подсчитав стоимость каждого варианта, администратор выбирает самый дешевый. Как видно из таблицы, работа одного кассира стоит дешевле, чем работа двух, но работа четырех кассиров обходится магазину дешевле всего.

Описанная ситуация относится к разряду самых простых, в которых может применяться модель массового обслуживания. Вычисления администратора были бы более сложными, если бы он принимал во внимание разницу в покупательских потоках (в часы пик и в спокойные часы) и разницу в оплате труда кассиров при найме на неполный рабочий день. Тем не менее, даже на таком простом примере можно понять полезность использования модели массового обслуживания.

Таблица 6.5

Расчет альтернативных издержек при моделировании массового обслуживания

Очередь грузовиков под разгрузку на склад, ожидание клиентами банка свободного кассира. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить столько ездок за день, сколько положено. Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолеты) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю остановку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк или обращаются к другой авиакомпании из-за медленного обслуживания).  

Теория игр - это метод, используемый для оценки влияния какого-либо действия на конкурентов. Моделями теории очередей можно пользоваться в соответствии со спросом на них. Модели управления запасами помогают руководителю синхронизировать размещение заказов на ресурсы и оптимизировать их объемы, а также определять оптимальное для склада количество готовой продукции . Модели линейного программирования позволяют установить оптимальный способ распределения дефицитных ресурсов между конкурирующими потребностями в них. Имитационное моделирование - это использование устройства, которое имитирует реальный мир. В экономическом анализе используется ряд методов для определения экономического положения организации или осуществимости действия с экономической точки зрения.  

Настоятельная потребность маркетинга и. предпринимательства в целом в полном и объективном освещении рыночных процессов , в достоверном предсказании возможного развития рынка. Понятие маркетингового исследования , его роль в бизнесе и удовлетворении информационно-аналитических потребностей маркетинга. Место маркетингового исследования в разработке стратегии маркетинга , планировании маркетинга и его контроллинге. Предмет и объекты маркетингового исследования . Цели маркетингового исследования . Принципы маркетингового исследования . Два направления маркетингового исследования формализация и качественные оценки. Достоинства и недостатки каждого из них. Возможности их консолидации. Основы методологии маркетингового исследования . Особая роль статистики и эконометрики в маркетинговых исследованиях . Теория массового обслуживания (теория очередей). Понятие статистического банка (набора статистических приемов обработки информации).  

Данный метод также предусматривает разложение проблемы на части и изучение каждой из них. Важным инструментом данного метода является разработка и проигрывание с использованием количественных методов и компьютеров различных моделей решения. Разработаны и используются модели с привлечением системного подхода , исследования операций , теории игр, теории очередей, уп-  

В 60-е гг. широко применялась такая техника планирования , как оперативное исследование. Речь идет об использовании научной техники управления для анализа проблемы и оценки возможных решений. Сюда входят теория очередей, игр, имитационное моделирование . Применение той или иной модели в процессе планирования зависит от накопления и анализа объективной информации. Предполагается, что информация должна поступать в каналы управления в достаточном объеме и в нужное время. Это самый ценный актив организации.  

К числу важнейших инструментов и методов исследования операций относятся теория вероятности , метод обратных связей , линейное программирование , символическая логика, теория информации и связей, теория очередей, теория игр, теория поисков.  

Изложенные обстоятельства позволяют для моделирования науки в регионе использовать математический аппарат теории очередей. Согласно этой теории, науку можно считать системой массового обслуживания (СМО). СМО, как известно, называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени.  

Теория очередей позволяет находить вероятности различных состояний СМО, а также устанавливать зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок Я, распределением времени обслуживания и т.д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться следующие  

Усовершенствуем формулы теории очередей применительно к специфике науки. Условия существования стационарного режима, по мнению автора, будут иметь место при следующих обстоятельствах  

Читатель найдет здесь доступное описание основных экономико-математических методов , построенных как на традиционном аппарате математики и логики, известном из школьных программ (дроби, проценты, уравнения, прогрессии, геометрические и логические задачи), так и на основе методов исследования операций - современном математическом аппарате , специально созданном для решения тех задач, с которыми элементарная математика не справляется. Это методы оптимизации (линейное, нелинейное и динамическое программирование), теория вероятностей и математическая статистика , теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), теория игр и статистических решений, сетевое планирование.  

Наряду с элементарной математикой и логикой рассматриваются также задачи, требующие применения аппарата высшей математики, особенно в теории вероятностей и математической статистике , а также в таких сравнительно молодых методах, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое), теория игр и статистических решений, теория массового обслуживания (теория очередей), метод статистических испытаний (Монте-Карло), сетевое планирование.  

Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы (аппараты) оказываются занятыми, происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют также теорией очередей.  

Центральным понятием теории очередей является функция стоимости, равная  

Если величина N больше 1, вычисления приобретают более сложный характер. Общая формула приведена в Приложении 1, где также обсуждаются другие проблемы теории очередей. Для JV, равных 2 и 3, формулы выглядят следующим образом  

В этой главе рассмотрены различные аспекты выбора места и планировки производственных площадей . Сокращение денежных, трудовых, временных и иных затрат возможно на основе определения общей производственной мощности , а для сферы услуг - использования теории очередей (массового обслуживания) для нахождения оптимального баланса между объемом простаивающего оборудования и временем ожидания покупателя в очереди.  

В русскоязычной литературе теория очередей иногда называется теорией массового обслуживания.  

Применение М. М.-К. можно проиллюстрировать примером из области теории очередей. Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение , следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода (так можно назвать промежуток времени между каждыми двумя приходами покупателей) может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер, и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических или случайных процесса , взаимодействие которых и создает очередь.  

Следует сказать и о терминах "Т.м.о." и "теория очередей". Во многих работах они трактуются как равнозначные, в других - теория очередей рассматривается лишь как раздел Т.м.о., поскольку последней изучаются системы не только с очередями, но и с отказами (напр., когда телефонная станция занята, очередь абонентов не образуется), а также некоторые иные.  

Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами . -СПб. Питер, 2001.-384 с.  

Статистика - наука, изучающая массовые явления и процессы, поддающиеся количественному измерению, позволяющая выявлять тенденции и закономерности общественного развития, определять пропорции и оценивать колеблемость. Эконометрия -применение экономико-математических методов анализа , измерение параметров математических выражений, характеризующих определенную социально-экономическую концепцию, моделирование сложных, многомерных процессов и явлений. Достаточно широко в маркетинге используются методы линейного и динамического программирования , приемы теории массового обслуживания (теории очередей), теории принятия решений (теории риска), теории связей (сигнальной информации о процессах, выходящих за пределы установленных параметров). Социометрия - характеристика структуры и функционирования определенных человеческих групп с помощью количественных оценок . Квалиметрия - методология количественных оценок качества товаров . Бихевиоризм - наука о вкусах и предпочтениях людей, которая помогает разобраться в процессах формирования и изме-  

Часто бывает, что запросы на обслуживание отдельных клиентов или заказы индивидуальных покупателей продукции поступают в систему случайным образом. Это так называемая проблема случайных клиентов. Единственный путь, который позволяет удовлетворять таких заказчиков, если накопление продукции и ожидание клиентов исключается, это составление внешнеориентированного расписания в сочетании с общим избытком мощности системы (избытком всех ее ресурсов). На практике такое расточительное резервирование встречается редко и поэтому части заказчиков, обращающихся в систему, приходится либо предлагать ожидание, либо отказывать, неся при этом определенные экономические             Управление качеством (1974) -- [